§ 10. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть 
— четная функция, удовлетворяющая условиям § 8. Тогда
следовательно, интеграл Фурье (1.37) принимает вид
где
Это — интеграл Фурье для четной функции 
Заменяя здесь 
его выражением, получим двойной интеграл Фурье для четной функции:
Пусть теперь 
— нечетная функция, удовлетворяющая условиям § 8. Тогда
следовательно, интеграл Фурье (1.37) принимает вид
где
Это — интеграл Фурье для нечетной функции 
Заменяя здесь 
его выражением, получим двойной интеграл Фурье для нечетной функции:
Формулы (1.41) и (1.43) можно перефразировать следую 
образом.
Положим
Тогда из (1.41) следует [если 
— четная функция, удовлетворяющая отмеченным выше условиям], что в точках дифференцируемости функции 
Называя выражение, стоящее в правой части (1.41), косинус-трансформацией функции 
приходим к закону взаимности: если 
есть косинус-трансформация четной функции 
то 
есть косинус-траисформация от 
Положим
Тогда из (1.43) следует [если 
— нечетная функция, удовлетворяющая отмеченным выше условиям], что в точках дифференцируемости функции 
Называя выражение, стоящее в правой части (1.43, синус-трансформацией 
приходим к закону взаимности: если 
есть синус-трансформация нечетной функции 
то 
есть синус-трансформация от 
Пример. Представить интегралом Фурье функцию
Функция 
— четная, следовательно, на основании (1.40) имеем:
поэтому
Таким образом,
Выражение (1.44) называется раарывным множителем Дирихле
