§ 3. СОПРОВОЖДАЮЩИЙ ТРЕХГРАННИК ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ

Рассмотрим пространственную кривую, заданную векторным параметрическим уравнением

где за параметр взята длина дуги отсчитываемая от некоторой точки кривой (фигурирующая в этом уравнении вектор-функция предполагается трижды непрерывно дифференцируемой).

Касательный вектор при таком выборе параметра будет единичным для всех точек кривой (ибо отношение хорды к дуге при стягивании последней в точку стремится к единице). Дифференцируя равенство получим следовательно, вектор ортогонален

Единичный вектор ненулевой вектор) определяет направление главной нормали кривой (в рассматриваемой точке); единичный вектор определяет направление бинормали кривой (в рассматриваемой точке). Три попарно ортогональных единичных вектора образуют сопровождающий трехгранник кривой (в рассматриваемой точке). Плоскости, проходящие через рассматриваемую точку кривой и перпендикулярные к называются соответственно нормальной, спрямляющей и соприкасающейся плоскостями кривой (в рассматриваемой точке).

Заметим, что если — три попарно ортогональных единичных вектора и вектор а разложен по ним: — скаляры), умножая это равенство скалярно на получим .

Разложим теперь производные векторов, образующих сопровождающий трехгранник, по вектора», его образующим:

Дифференцирование равенств показывает, что ; дифференцирование равенств показывает, что ; наконец, из определения видно, что следовательно, если обозначить , то написанные выше разложения примут вид

Формулы (2.8) называются формулами Серре — Френе, величины и называются соответственно кривизной и кручением пространственной кривой (в рассматриваемой точке). Обратные величины называются соответственно радиусом кривизны и радиусом кручения кривой (в рассматриваемой точке).

С помощью (2.8) находим:

следовательно, для кривизны и кручения пространственной кривой получаем формулы

Пусть теперь пространственная кривая задана векторным параметрическим уравнением

при любом выборе параметра (фигурирующая в этом уравнении вектор-функция предполагается трижды непрерывно дифференцируемой). Пользуясь для обозначения производных по точками и сохраняя для обозначения дифференцирования по штрихи, будем иметь (учитывая правила вамены переменных при дифференцировании, формулы Серре — Френе и свойства определителей):

отсюда вытекают формулы для кривизны и кручеиня пространственной кривой при любом выборе параметра (в точках, где — ненулевой вектор):