§ 14. ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАЦИИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ

Если каждой точке некоторой области пространства отнесена система трех чисел так, что разным точкам отвечают разные системы то мы скажем, что в рассматриваемой области пространства введены криволинейные координаты Геометрические места точек, где или или назовем координатными поверхностями, пересечения двух координатных поверхностей — координатными линиями.

Введем, далее, в рассматриваемой области пространства прямоугольные координаты

Тогда между прямоугольными координатами и криволинейными координатами точек рассматриваемой области пространства устанавливается взаимно однозначное соответствие, описываемое формулами вида

где функции, стоящие в правых частях, однозначны, а также формулами вида

где функции, стоящие в правых частях, также однозначны.

Будем предполагать, что функции, стоящие в правых частях (2.57), непрерывны, имеют непрерывные частные производные первого порядка и якобиан не обращается в нуль (тогда он сохраняет постоянный знак, будем предполагать его положительным). При этих условиях функции, стоящие в правых частях (2.58), будут обладать такими же свойствами. В случае надобности можно дополнительно потребовать, чтобы функции, стоящие в правых частях (2.57), имели частные производные порядка выше первого.

Дифференцируя по тождество

получим:

Аналогичные формулы справедливы для

Пусть ( — орты). Векторы очевидно, будут ненулевыми [ибо ]. Длины этих векторов

называются коэффициентами Ламе; каждый из них является функцией от

Единичные векторы

также являются вектор-функциями от

Определение. Система криволинейных координат навивается ортогональной, если в каждой точке координатные линии попарно ортогональны.

Таким образом, ортогональность системы криволинейных координат обозначает, что в каждой точке векторы попарно ортогональны или, что равносильно, в каждой точке попарно ортогональны векторы

Если криволинейные координаты введены лишь в некоторой части рассматриваемой области пространства, например в окрестности некоторой точки, то говорят о локальной системе криволинейных координат.

Градиент в ортогональных криволинейных координатах

Пусть — скалярное поле. Если ввести криволинейные координаты то станет функцией переменных

Введем прямоугольные координаты Известно (см. § 4), что

направлен по нормали к поверхности и поэтому в случае ортогональных криволинейных координат некоторый скаляр; затем

Скалярное перемножение равенств

дает [если учесть формулу (2.59)]:

откуда следовательно, . Аналогично

Формула градиента сложной функции (2.17) дает:

Изложенное показывает, что градиент скалярного поля в ортогональных криволинейных координатах определяется формулой

Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах

Пусть а — векторное поле. Если ввести криволинейные координаты , то а станет вектор-функцией переменных Систему криволинейных координат будем предполагать ортогональной.

Воспользуемся инвариантностью определения дивергенции (2.42) в произвольно взятой точке беря в качестве замкнутой поверхности оболочку криволинейного параллелепипеда (рис. 20), ограниченного поверхностями

где стремятся к нулю.

Рис. 20.

Введем прямоугольные координаты, поместив начало О в точке и направив координатные оси по

для этой точки. Тогда значения коэффициентов Ламе для втой точки) имеем:

где стремится к нулю вместе с Затем (учитывая формулу 2.35),

где стремится к нулю вместе с

Многоточие обозначает, что следует написать еще два слагаемых, получающихся из первого путем круговой перестановки букв по схеме

Следовательно, при стремлении к нулю

но

и, таким образом,

Изложенное показывает, что дивергенция векторного поля в ортогональных криволинейных координатах определвется формулой

Вихрь в ортогональных криволинейных координатах

Пусть а — векторное поле. Если ввеств криволвнейные коордвиаты то а станет вектор-функцией переменных Систему криволинейных координат будем предполагать ортогональной.

Воспользуемся инвариантным определением вихря (см. § 11) в провзвольно взятой точке

Пусть — крвволинейный четырехугольный кусок координатной поверхности ограниченный линияии

и пусть С — контур (рис. 21).

Рис. 21.

Введем прямоугольные координаты, поместив начало О в точке и направвв координатные оси по для этой точки.

(кликните для просмотра скана)

и аналогично Таким образом (см. § 11), имеем:

и аналогичные формулы получаются для Изложенное показывает, что внхрь векторного поля в ортогональных криволинейных координатах определяется формулой

Оператор Лапласа и ортогональных криволинейных координатах

Пусть — скалярное поле. Если ввести криволинейные координаты то станет функцией переменных Систему криволинейных координат будем предполагать ортогональной.

Согласно формуле (2.52) имеем:

где оператор Лапласа, поэтому, пользуясь формулами (2.60) и (2.61), найдем, что оператор Лапласа в ортогональных криволинейных координатах определяется формулой

которую, очевидно, можно переписать в виде

Векторные операция в цилиндрических координатах

Перейдем от прямоугольных координат цилиндрическим по формулам

(здесь выполняют роль .

Координатными линиями будут лучи с начальными точками на оси и перпендикулярные к окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к с центрами на оси прямые, параллельные оси (рис. 22).

Рис. 22.

Цилиндрическая система координат, очевидно, ортогональная. Коэффициентами Ламе в рассматриваемом случае будут:

Пусть скалярное поле, а — векторное поле. Из формул (2.60), (2.61), (2.62), получим выражения для градиента, дивергенции, вихря и оператора Лапласа в цилиндрических координатах:

Векторные операции в сферических координатах

Перейдем от прямоугольных координат х, к сферическим по формулам

(здесь выполняют роль ).

Координатными линиями будут лучи, выходящие из начала, окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к с центрами оси полуокружности с центрами в начале и диаметрами на (рис. 23).

Рис. 23.

Сферическая система координат, очевидно, ортогональная. Коэффициентами Ламе в рассматриваемом случае будут:

Пусть скалярное поле, а — векторное поле. Из формул (2.60), (2.61), (2.62), (2.63) получим выражения для градиента, дввергенции, вихря и оператора Лапласа в сферических координатах: