§ 18. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА

Пусть мероморфная функция в области, ограни ченной простым замкнутым контуром С, и на нем, не имеющая нулей и полюсов на С. Так как

то

где правая часть обозначает приращение, которое получает когда точка описывает контур С в положительном направлении. Но

как непрерывная однозначная функция, после обхода С возвращается к своему первоначальному вначению, поэтому

и

С другой стороны, по теореме о логарифмических вычетах

где - число нулей и Р — число полюсов функции лежащих внутри С (с учетом их кратностей). Таким образом, получается правило, известное под названием принципа аргумента.

Если мероморфна в области, ограниченной простым замкнутым контуром С, и на нем и если не имеет на этом контуре нулей и полюсов, то равность между числом нулей и числом полюсов (с учетом кратностей) функции лежащих внутри С, равна полному числу оборотов вокруг нуля, совершаемых вектором точки когда

точка описывает контур С в положительном направлении, т. е.

С помощью принципа аргумента легко доказывается

Теорема Руше. Если аналитические функции в области, ограниченной контуром С, и на нем и во точках контура С выполняется неравенство то имеют внутри С одинаковое число нулей (считая каждый нуль столько раз, какова его кратность).

Доказательства Из условия теоремы видно, что не имеют нулей на С, ибо при на С змеем

Пусть — число нулей функции лежащих внутри С, V — число нулей функции лежащих внутри С. По принципу аргумента имеем:

учитывая, что ибо, когда точка списывает С, точка 1 описывает путь, лежащий внутри круга радиуса 1 с центром 1 (рис. 47), так как на 1, что и требовалось доказать.

Рис. 47.

Отметим некоторые следствия в теоремы Руше.

Пусть — аналитическая функция в области, ограниченной замкнутым контуром С, и на нем, не смеющая нулей на С. Тогда, если аналитические функции в области, ограниченной контуром С, и на нем и равномерно , то при , достаточно большом, число нулей (с учетом их кратностей) функции внутри С равно числу

нулей (с учетом их кратностей) функции внутри С (теорема Гурвица).

В самом деле, очевидно, ибо не имеет нулей на С, поэтому найдется такой номер что при и на Сбудем иметь но тогда в разложении модуль второго слагаемого правой части будет меньше модуля первого для всех на С, и, следовательно, по теореме Руше число нулей внутри С будет равно числу нулей внутри С, что и требовалось доказать.

Пусть а — какое-нибудь комплексное число, а-точками функции называются такие значения для которых значение равно а. Иначе говоря, -точки функции суть нули функции Так как нули аналитической функции, не равной тождественно нулю, изолированы, то а-точки аналитической функции, не равной тождественно а, изолированы. Говорят еще, что а-точка функции имеет кратность если она есть -кратный нуль для

Пусть — непостоянная аналитическая функция и 20 — -кратная -точка этой функции. Так как а-точки изолированы, то на окружности достаточно малого радиуса с центром и внутри нее не будет находиться других -точек. Тогда Если то внутри у будет находиться (с учетом их кратностей) ровно b-точек функции Действительно, причем на имеем следовательно, по теореме Руше число нулей (с учетом их кратностей) функции внутри совпадает с таковым для и, следовательно, равно (внутри функция имеет только один нуль, и его кратность равна Заметим еще, что если, кроме того, радиус окружности достаточно мал (чтобы при обращается внутри ровно раз в и все эти -точки — простые (однократные).

Непостоянная аналитическая функция переводит открытые множества в открытые. В самом деле, если то в силу вышеизложенного уравнение имеет внутри как угодно малого круга с центром решение, если только достаточно близко к

Из последнего замечания следует, что если непостоянная аналитическая функция в некоторой области, то в любой близости к каждой точке этой области найдется такая точка что Отсюда вытекает принцип максимума модуля: если непрерывна в ограниченной замкнутой области и аналитична внутри этой области, то достигает своего наибольшего значения на границе области.

Из принципа максимума модуля непосредственно вытекает теорема: если последовательность функций непрерывных и ограниченной замкнутой области и аналитических внутри этой области, равномерно сходится на границе области, то она равномерно сходится на всей области. В самом деле, так как сходимость на границе — равномерная, то для всякого найдется такой номер что при будем иметь для всех на границе области, но тогда по принципу максимума модуля это неравенство справедливо на всей области и, следовательно, в силу критерия Коши последовательность равномерно сходится на всей области.