§ 19. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Соответствие, по которому каждому элементу а множества А относится некоторый элемент множества В (природа элементов множеств А и В безразлична), называется отображением множества А в множество В. Элемент соответствующий а, называется образом элемента а (тогда а называют прообразом элемента

Отображение, дифференцируемое в данной точке

Мы будем рассматривать отображение области плоскости комплексного переменного в плоскость комплексного переменного. Такое отображение можно записать формулой где — комплекснозначная функция комплексного переменного определенная в области Его можно также записать формулами

где действительная и мнимая части

Определение. Отображение называется дифференцируемым в данной точке рассматриваемой области, если и дифференцируемы в этой точке.

Таким образом, дифференцируемости отображения в точке означает возможность представлений (о полном дифференциале функций двух действительных переменных см. § 6):

где стремятся к нулю при и где А, В, С, D — некоторые действительные числа (эти числа однозначно определены, причем

Дифференцируемое в точке отображение называется невырождающимся в этой точке, если

Лемма. Если отображение, дифференцируемое и невырождающееся в точке М, переводит точку М в точку то точки, достаточно близкие к и отличные от М, перейдут в точки, отличные от

Доказательство. Правило Крамера показывает, что если определить как функции от линейной системы

то при будем иметь поэтому найдется такое число что при выполняется неравенство

Выберем Теперь так, чтобы при шполнялись неравенства

Тогда при числа одновременно не обращаются в нуль. Действительно, в противном случае вела удовлетворяли бы системе

где

что противоречит определению числа .

Пусть отображение дифференцируемо и не вырождается в точке Тогда в силу леммы найдется такое что при будем иметь Положим

Из (3.62) следует:

где

Возводя в квадрат и складывая, получим:

Пусть Тогда

причем стремление равномерное относительно С.

Эту непрерывную положительную функцию от комплексного числа С с единичным модулем назовем индикатрисой растяжений рассматриваемого отображения а точке

Далее, умножая второе из равенств (3.63) на I и складывая с первым, получим:

Отсюда, учитывая (3.64), найдем:

причем стремление X к — равномерное относительно С, Эту непрерывную функцию от комплексного числа С с единичным модулем, вначеиия которой суть комплексные числа с единичным модулем, назовем индикатрисой вращений рассматриваемого отображения в точке

Пусть 5 — произвольное отображение области плоскости комплексного переменного в плоскость комплексного переменного, переводящее точку М в точку Обозначим через переменную точку области отличную от М, и через ту точку, в которую переходит при отображении 5.

Пусть — «направление», выходящее точки М. Будем говорить, что отображение 5 имеет в точке М по «направлению» коэффициент искажения масштаба х, если (рис. 48)

Рис. 48.

В частности, если функция, осуществляющая отображение непрерывна в окрестности точки М и если имеет в точке М по «направлению» коэффициент искажения масштаба то всякая дуга, выходящая из М и касающаяся а этой точке луча переходит в некоторую дугу, выходящую из причем отношение хоря стремится к х, когда длина хорды стремится к нулю (рис. 49).

Если таково, что при достаточно близкой к М, точка отлична от точки то будем говорить, отображение переводит «направление» выходящее из М, в направление» выходящее из если (рис. 50)

Рис. 49.

Рис. 50.

В частности, если функпия, осуществляющая отображение непрерывна в окрестности точки М и если 5 переводит «направление» выходящее из точки М, в «направление» выходящее из точки то (рис. 51) всякая дуга, выходящая и касающаяся в этой точке луча переходит в некоторую дугу, выходящую из Л и касающуюся в этой точке луча

Рис. 51.

Изложенное выше показывает, что если отображение 5 дифференцируемо и не вырождается в точке М, то имеет в точке М по каждому «направлению» положительный коэффициент искажения масштаба и каждое «направление» выходящее из М, переводится в некоторое «направление» выходящее Именно, по «направлению» образующему с действительной осью угол а, коэффициент искажения масштаба равен и «направление» переводится в «направление» , образующее с действительной осью угол определяемый из равенства