§ 12. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ОТ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Пусть — аналитическая функция в какой-нибудь области Пусть С — замкнутый контур, лежащий вместе со своей внутренностью в этой области. Для всех точек лежащих внутри этого контура, имеем на основании интегральной формулы Коши:

Но интеграл Коши, стоящий в правой части, является частным случаем интеграла типа Коши, следовательно, на основании

изложенного в имеет внутри С производные всех порядков, получающиеся на основании (3.43) по формуле

Так как любую точку области можно окружить зам кнугым контуром, лежащим (вместе с внутренностью) в области то приходим к следующему выводу: всякая аналитическая функция в какой-нибудь области имеет в этой области производные всех порядков, причем все они являются аналитическими функциями в этой области.

Следует заметить, что функции действительного переменного таким свойством не обладают. Функция действительного переменного может иметь первую производную, но не иметь второй производной.