§ 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Степенным рядом называется ряд вида

где — любые комплексные числа, — комплексное переменное.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится для некоторого значения переменного, то он абсолютно сходится для всех значений переменного с меньшим модулем.

Это значит, что если сходится, то абсолютно сходится.

Докавательство. Так как ряд сходится, то его члены стремятся к нулю и, следовательно, ограничены, т. е. найдется такое число К, что для всех

Если то число и

Но числа образуют убывающую геометрическую про грессию, значит, ряд сходится, но тогда на основании принципа сравнения рядов с неотрицательными членами ряд сходится, следовательно, ряд абсолютно сходится, что и требовалось доказать.

Следствие. Если степенной ряд расходится (или неабсолютно сходится) для некоторого значения переменного, то он расходится для всех вначений переменного с большим модулем.

Это значит, что если 2 расходится или неабсолютно сходится, то расходится.

В самом деле, если бы ряд сходился, то по теореме Абеля (так как был бы абсолютно сходящимся, что противоречит условию.

Область сходимости степенного ряда

Рассмотрим какой-нибудь ряд, члены которого зависят от . Те вначения для которых рассматриваемый ряд сходится, называются точками сходимости его; те значения для которых рассматриваемый ряд расходится, называются точками расходимости его. Совокупность всех точек сходимости навывается областью сходимости рассматриваемого ряда.

Теорема Абеля позволит решить вопрос об области сходимости степенного ряда.

Пусть какой-нибудь степенной ряд. Логически возможны следующие три случая:

I) все положительные числа суть точки сходимости;

2) все положительные числа суть точки расходимости;

3) существуют положительные точки сходимости и поло жительные точки расходимости

В первом случае в силу теоремы Абеля данный степенной ряд сходится (абсолютно) для всех значений (так как для любого комплексного числа найдется положительное число большее, чем Следонательно, область сходимости есть вся плоскость комплексного переменного.

Во втором случае в силу следствия из теоремы Абеля данный стеленной ряд расходится для всех значений (так как для любого комплексного числа найдется положительное число меньшее, чем Следовательно, область сходимости состоит из одной точки 0.

В третьем случае найдется положительная точка сходи мости и положительная точка расходимости Если есть точка сходимости, положим если же есть точка расходимости, положим Таким же образом, исходя из введем числа . В результате получим неубывающую последовательность положительных точек сходимости

и невозрастающую последовательность положительных точек расходимости

причем Следовательно, обе назван последовательности имеют общий предел

Если то при достаточно большом , следовательно, в силу теоремы Абеля есть точка сходимости. Если то при достаточно большом , следовательно, в силу следствия из теоремы Абеля, есть точка расходимости. Таким образом, внутри круга радиуса с центром 0 ряд сходится (абсолютно),

вне этого круга ряд расходится. Вопрос о точках, лежащих на окружности, остается открытым. Область сходимости стеленного ряда есть, таким образом, круг радиуса с центром О (точнее, внутренность этого круга плюс, быть может, некоторое множество точек окружности). Этот круг называется кругом сходимости. Радиус его называется радиусом сходимости.

В первом и втором случаях следует считать соответственно и (круг сходимости соответственно обращается во всю плоскость или вырождается в точку).

Во всех точках внутри круга сходимости степенной ряд абсолютно сходится.

Если в некоторой точке на окружности круга сходимости степенной ряд абсолютно сходится, то он сходится абсолютно во всех точках окружности круга сходимости (ибо модули членов степенного ряда для всех точек этой окружности соответственно одинаковы).

Если в некоторой точке на окружности круга сходимости степенной ряд либо неабсолютно сходится, либо расходится, то в каждой точке этой окружности он либо неабсолютно сходится, либо расходится.

Рассмотрим теперь ряд

Полагая превратим этот ряд в степенной ряд с некоторым радиусом сходимости Тогда при сходится, при расходится. Следовательно, ряд (3.8) при сходится, при расходится. Полагая найдем, что область сходимости ряда (3.8) есть «внешность» круга (рис. 24) радиуса с центром О (точнее, внешность этого круга, плюс, быть может, некоторое множество точек окружности). Сходимость ряда (3.8) во всех точках вне упомянутого круга — абсолютная.

Рассмотрим теперь ряд, бесконечный в обе стороны,

Ряд, бесконечный в обе стороны, считается сходящимся, еслн сходится ряд, составленный из членов, лежащих правее некоторого члена, и ряд, составленный из членов, лежащих левее некоторого члена (очевидно, нет надобности указывать номер этого некоторого члена, так как при другом выборе его упомянутые два ряда изменятся на конечное число членов и, следовательно, их поведение не изменится).

Рис. 24.

Рис. 25.

Таким образом, ряд сходится тогда и только тогда, когда одновременно сходятся оба ряда

Область сходимости первого из этих рядов есть внутренность некоторого круга радиуса с центром О. Область сходимости иторого ряда есть внешность некоторого круга радиуса с центром О. Если то общая часть упомянутых областей сходимости есть кольцо с центром О

(рис. 25). В этом случае область сходимости ряда есть кольцо, ограниченное двумя окружностями с центром О (плюс, быть может, некоторое множество точек, лежащих на ограничивающих окружностях). Это кольцо называется кольцом сходимости ряда Внутри кольца сходимости сходимость ряда абсолютная. Если то ряд не имеет точек сходимости, если то ряд может иметь точки сходимости только на окружности радиуса

Рассмотрим степенной ряд

Полагая превратим этот ряд в ряд с некоторым радиусом сходимости Возвращаясь к переменному найдем, что область сходимости ряда есть круг (рис. 26) радиуса с центром а (точнее, внутренность этого круга плюс, быть может, некоторое множество точек окружности).

Рис. 26.

Рис. 27.

Этот круг называется кругом сходимости ряда его радиус—радиусом сходимости (при получаем всю плоскость, при круг вырождается в точку а). Внутри круга сходимость ряда — абсолютная.

Рассмотрим ряд

Полагая превратим этот ряд в ряд Если

имеет кольцо сходимости то область сходимости ряда будет кольцом, ограниченным окружностями радиусов и с центром а (рис. 27). Это кольцо называется кольцом сходимости ряда Внутри этого кольца сходимость ряда -абсолютная.