§ 7. УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И ЕГО РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ФУРЬЕ

Рассмотрим натянутую струну, расположенную вдоль оси абсцисс. Если струпа совершает малые поперечные колебания (т. е. каждая точка струны может смещаться только в вертикальном направлении и, следовательно, сохраняет величину своей абсциссы) без воздействия внешних сил, то можно показать (отбрасывая малые величины высших порядков), что если обозначает ординату точки струны с абсциссой в момент то функция и будет удовлетворять линейному однородному уравнению с частными производными второго порядка

где а — постоянное положительное число.

Если струна имеет конечную длину и ее концы с абсциссами закреплены, то мы получаем следующие граничные условия:

Будем сперва искать те решения уравнения (1.25) в области

удовлетворяющие граничным условиям (1.26), которые имеют специальный вид: где X — дважды непрерывно дифференцируемая функция от х на не равная тождественно нулю, Т — дважды непрерывно дифференцируемая функция от не равная тождественно нулю.

Вставляя в (1.25), получим:

откуда после разделения переменных найдем:

Так как левая часть не зависит от а правая часть не зависит от х, то общая величина этих отношений, есть некоторая постоянная ; поэтому

Строго говоря, формула (1.28) в, следовательно, формула (1.29) справедливы для тех х, где и тех где Но там, где имеем в силу (1.27) (ибо Т не исчезает тождественно), и там, где имеем в силу (ибо X не исчезает тождественно); поэтому равенства (1.29) справедливы для всех рассматриваемых

Граничные условия (1.26) дают:

следовательно (так как Т не исчезает тождественно),

Покажем теперь, что при первое из уравнений (1.29) не может иметь на решений, не исчезающих тождественно и удовлетворяющих граничным условиям (1.30).

В самом деле, если бы при нашлось такое решение, то в некоторой точке между оно было бы отлично от нуля, например положительно (в противном случае следовало бы заменить тогда наибольшее значение X на должно было бы быть положительно и достигаться в некоторой точке внутри этого сегмента. Но тогда

и, следовательно, в точке 5 функция X должна иметь минимум, что нелепо. В случае первое из уравнений (1.29) превращается следовательно, X линейна и при условиях (1.30) может быть только тождественным нулем. Итак, мы доказали, что поэтому можно положить где

Уравнения (1.29) принимают вид

Составляя и решая соответствующие характеристические уравнения этих однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, найдем:

где — постоянные.

Граничные условия (1.30) налагают требования:

откуда (так как , если — целое); следовательно,

откуда (полагая

Обратно, непосредственно проверяется, что выражение (1.30) при любых постоянных А и В удовлетворяет уравнению (1.25) и граничным условиям (1.26). Таким образом, общий вид всех решений уравнения (1.25), удовлетворяющих граничным условиям (1.26) и имеющих специальный вид дается формулой (1.30).

Так как уравнение (1.25) и граничные условия (1.26) линейны и однородны, всякая линейная комбинация решений уравнения (1.25) с условиями (1.26) есть также решение уравнения (1.25) с условиями (1.26). В упомянутой линейной комбинации может участвовать не только конечное, но и бесконечное число функций, однако в последнем случае постоянные коэффициенты следует брать так, чтобы

получающийся ряд и ряды, появляющиеся из него после однократных и двукратных почленных дифференцирований по рассматриваемым переменным, были бы равномерно сходящимися [тогда законны однократные и двукратные почленные дифференцирования, с которыми придется встретиться при проверке выполнимости (1.25)]. Таким образом, выражения вида

при надлежащем осторожном выборе коэффициентов будут решениями уравнения (1.25) с условиями (1.26).

Предположим теперь, что для каждой точки струны известно ее начальное положение и начальная скорость. Тогда на должны быть наложены дополнительные ограничения вида

где — заданные функции [причем

Условия (1.32) называются начальными условиями. Будем искать среди решений вида (1.31) такие, которые удовлетворяют начальным условиям (1.32), т. е. подчиним функции

условиям (1.32). Тогда получим (полагая )

и, следовательно [см. формулы (1.24) для коэффициентов разложения функции на сегменте в ряд синусов],

Итак, решение рассматриваемой задачи о свободных малых колебаниях струны с закрепленными концами и заданными начальными положениями и начальными скоростями ее точек дается формулой

Разумеется, предыдущие выкладки законны лишь при достаточно осторожном гадании функций но на этом вопросе мы не будем останавливаться.