§ 12. МИНИМАЛЬНОЕ СВОЙСТВО КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ

Определение. Пусть — две функции (удовлетворяющие отмеченным в начале § 11 требованиям). Среднеквадратическим уклонением от относительно неса на данном интервале называется число

Пусть имеем какую-нибудь ортогональную (относительно веса на данном интервале) систему функций

Линейные комбинации из первых функций этой системы, т. е. выражения вида

где — любые действительные постоянные, назовем для сокращения обобщенными полиномами порядка.

Экстремальная задача

Из всех обобщенных полиномов порядка найти тот, который имеет наименьшее среднеквадратическое уклонение от данной функции (удовлетворяющей отмеченным в начале § 11 требованиям).

Вопрос сводится к отысканию таких для которых будет наименьшим.

Не нарушая общности, можем считать систему ортонормированной (в противном случае путем умножения на нормирующие множители мы можем сделать ее таковой). Полагая, что индексы суммирования принимают значения обозначают коэффициенты Фурье функции будем иметь:

Из полученной формулы

видно, что искомый минимум получается при .

Итак, из всех обобщенных полиномов порядка наименьшее среднеквадратическое уклонение от данной функции имеет частичная сумма ряда Фурье этой функции.

Из формулы (1.49) находим:

Так как средняя часть формулы (1.50) неотрицательна, то

откуда следует, что ряд сходится и имеет место равенство Бесселя

Если система ортогональная (но не обязательно ортонормированная), то (1.51) следует заменить неравенством

где нормирующий множитель для (ибо, беря вместо мы должны взять вместо

Называя тригонометрическим полиномом степени функцию вида

получим как частный случай решенной экстремальной задачи [когда в качестве системы берется тригонометрическая система (Т)] следующий результат.

Из всех тригонометрических полиномов степени наименьшее среднее квадратическое уклонение на от заданной на этом сегменте функции имеет тригонометрический полином

коэффициенты которого определяются по формулам Фурье