§ 11. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ БЫЛА ИЗОБРАЖЕНИЕМ

Теорема. Пусть — аналитическая функция в полосе и при всяком

Тогда является изображением, причем оригиналом будет:

где а — какое-нибудь действительное число, большее чем

Доказательство. Сперва заметим, что определение не зависит от выбора числа а.

Действительно, интеграл от по прямоугольнику, ограниченному прямыми где больше равен нулю по теореме Коши, но интегралы по горизонтальным сторонам стремятся к нулю в силу условия при Следовательно, в пределе найдем, что

Из выражения для находим:

при всяком следовательно, есть оригинал с показателем роста Пусть и . Имеем:

причем изменение порядка интегрирования законно, так как при имеем:

а интегралы сходятся. Но

следовательно,

Пусть — дуга окружности лежащая в полуплоскости — точки пересечения окружности с прямой (рис. 67).

Рис. 67.

Внутри сегмента, ограниченного дугой и прямой аналитическая функция имеет только одну особую точку (простой полюс); следовательно, по теореме о вычетах и правилу вычисления вычетов относительно простого полюса (см. гл. III, § 17) находим:

где С — контур сегмента. Левая часть равна сумме интеграла вдоль хорды и интеграла вдоль дуги окружности. Первое слагаемое равно

в при будет стремиться к

Покажем, что второе слагаемое при будем стремиться к нулю. В самом деле, пусть — максимум

модуля на тогда

при по условию теоремы

Таким образом, равенство

в пределе при дает Этим доказано, что при имеем и» следовательно, что и требовалось доказать.

Лемма Жордана. Пусть — бесконечная система окружностей с центром О и неограничено возрастающими радиусами, а — какое-нибудь действительное число, — часть окружности расположенная в полуплоскости а (рис. 68).

Рис. 68.

Рис. 69.

Тогда, если непрерывна на совокупности дуг при на то при каждом

Доказательство. Оценим модуль интеграла

где — часть окружности радиуса с центром О, расположенная в полуплоскости и — непрерывная функция на , если на . Имеем (рис. 69);

Пусть сперва Тогда

(в первом и втором интегралах правой части заменено соответственно на

Но

следовательно,

учитывая, что

(кликните для просмотра скана)

Следствие. Пусть мероморфная функпия на всей плоскости комплексного переменного обладающая свойствами:

1) при она удовлетворяет условиям теоремы данного параграфа;

2) сущестиует система окружностей с неограниченно возрастающими радиусами, не проходящих через полюсы и таких, что при на

Тогда является изображением, причем оригиналом будет:

где полюсы расположенные порядке неубывания модулей, — число полюсов, лежащих внутри . В частности, когда все полюсы простые, имеем:

Доказательство. В силу теоремы, доказанной в настоящем параграфе, является изображением, причем оригиналом будет:

где а — какое-нибудь число, большее Пусть — часть окружности пробегающая в полуплоскости и пусть — концы По теореме о вычетах (гл. III, § 17)

Если то при первое слагаемое левой части стремится к а второе слагаемое в силу леммы Жордана стремится к нулю, следовательно, в пределе получим искомую формулу (5.53).

Если полюс — простой, то

поэтому в случае, когда все полюсы — простые, формула (5.53) переходит в формулу (5.54), что и требовалось доказать.