§ 7. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Рассмотрим двусторонний кусок поверхности который можно разбить на конечное число частей, каждая из которых либо изобразима уравнением вида либо ивляетси частью цилиндрической поверхноаи с образующими параллельными оси

Выберем на определенную сторону.

Заметим, что не всякий кусок поверхности является двусторонним. Легко дать пример односторонней поверхности. Взяв прямоугольник (рис. 11) и склеив стороны так, чтобы совпало с совпало с а, получим поверхность с одной стороной.

Рис. 11.

Рис. 12.

Пусть — непрерывная функция на куске поверхности . Разобьем его (рис. 12) на части каждая из которых либо изобразима уравнением вида либо принадлежит цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Возьмем на каждой части точку

Значение рассматриваемой функции в этой точке умножим на взятую с определенным знаком площадь проекции кусочка на плоскость причем берем знак если выбранная сторона поверхности на кусочке обращена в сторону возрастания в знак если выбранная сторона поверхности на кусочке 5, обращена в сторону убывания Если 5, принадлежит цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси то вопрос о знаке отпадает, ибо площадь проекции равна нулю.

Эту площадь проекции на с выбранным знаком обозначим Теперь составим сумму упомянутых произведений

Если наибольший из диаметров кусочков стремится к нулю, то эта сумма стремится к определенному пределу, который называется поверхностным интегралом от по выбранной стороне поверхности по переменным и обозначается виаком Аналогично

определяются поверхностные интегралы по другнм парам переменных (при аналогичных ограничениях, налагаемых на ). Таким образом,

Далее вводнм понятие комбинированного позерхиостного интеграла

Из определения поверхностного интеграла следует, что при перемене сгороны поверхности интеграл лишь меняет свой знак; еслн кусок поверхности разбнт на части, интеграл по всему куску поверхности равен сумме интегралов по его частям; постоянные множители выносятся за знак ишеграла, интеграл суммы равен сумме ннтегралов.

Из (2.30) видно, что если есть кусок цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси (в этом случае проекции на плоскость вырождаются в линии). Аналогично, из (2.28) и (2.29) видно, что если есть кусок цилиндрической поверхности с образующими, параллельными осн если есть кусок цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси

Преобразование поверхностного интеграла в обыкновенный двойной интеграл (частные случаи)

Рис. 13.

Пусть имеем поверхность Пусть - кусок рассматриваемой поверхности, А — его проекция на плоскость (рис. 13). Если на выбрана сторона, обращенная в сторону возрастания то (рис. 13)

откуда после перехода к пределу получаем:

Аналогичные формулы получаются для поверхностных интегралов по другим парам переменных. Итак,

[где — кусок поверхности — его проекция на ]

[где -кусок поверхности и А — его проекция на

[где — кусок поверхности и А — его проекция на

Заметим, что вывод формул, выражающих поверхностный интеграл через обыкновенный двойной интеграл, даст одновременно доказательство существования поверхностного интеграла, если существование обыкновенного двойного интеграла считать известным.

Преобразование поверхностного интеграла и обыкновенный двойной интеграл (общий прием)

Пусть -кусок поверхности, заданный параметрическими уравнениями

где пробегает область на плоскости (функции, стоящие в правых частях, предполагаются непрерывными вместе с частнымв производными первого порядка).

Предположим сперва, что кусок может быть представлен уравнением где - однозначная непрерывная функция, и пусть А — проекция на плоскость Тогда

В силу (2.34) и правила замены переменных в двойном интеграле (если соответствие между и А прямое, т. е. сохраняющее направления обходов)

Эта же формула верна, если окажется куском цилиндрической поверхности с образующими, параллельными

так как тогда обе части формулы равны нулю Правая часть равна нулю вследствие того, что Последнее равенство легко обнаружить. Пусть, например, уравнение названной цилиндрической поверхности есть тогда

откуда

и, следовательно, в якобиане строки пропорциональны.

В обшем случае можно разбить на части, подходящие под одии из рассмотренных двух типои (мы ограничиваемся такими поверхностями Тогда разобьется на соответствующие части. Применив к каждой из частей формулу (2.34) и складывая полученные равенства, получим формулу (2.340 для всего куска

Аналогичные формулы получаются для поверхностных интегралов по другим парам переменных. Итак,

откуда

при надлежащем выборе стороны поверхности

Пусть, в частности, имеем кусок поверхности где пробегают область А плоскости Тогда формула (2.35) дает играют роль

где и поверхностный интеграл берется по верхней стороне поверхности.