§ 4. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ

Пусть функция, определенная на всей числовой (или на каком-нибудь интервале с симметричными концами).

Функция называется четной, если для всех рассматриваемых значений х имеем Функция называется нечетной, если имеем

График четной функции симметричен относительно оси ординат. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Линейная комбинация четных функций есть четная функция, линейная комбинация нечетных функций есть нечетная функция (мы называем линейной комбинацией нескольких функций всякую сумму произведений этих функций на какие-нибудь постоянные).

Произведение нескольких функций, каждая из которых является четной или нечетной, будет четной или нечетной Функцией в зависимости от четности или нечетности числа нечетных множителей. В частности, произведение двух четных или двух нечетных функций есть четная функция, произведение четной и нечетной функций есть нечетная функция.

Если функция интегрируема на сегменте

Но (при замене x на )

следовательно,

откуда

Четные и нечетные функции являются узкими частными случаями функций, но тем не менее всякая функция может быть представлена в виде суммы четной и нечетной функций. В самом деле, имеем:

где

и, очевидно, — четная функция, нечетная функция. Если имеет период, то имеют такой же период.

Если функция оказалась одновременно четной и нечетной, то откуда , следовательно, тождественно равна нулю. Тождественный нуль есть единственная функция, которая является одновременно четной и нечетной.

Отсюда легко заключить, что любая функция не может быть двумя разными способами представлена в виде суммы четной и нечетной функций. Действительно, если

(-четные, -нечетные), то но левая часть этого равенства есть четная функция, правая же часть — нечетная, откуда

следовательно,

Отсюда и из ранее сказанного видно, что всякая функция единственным способом может быть представлена в виде суммы четной и нечетной функций.