§ 17. ВЫЧЕТЫ

Пусть а — конечная изолированная особая точка аналитической функции тогда в окрестности точки а эта функция изобразится рядом Лорана

при степени в этом разложении, т. е. называется вычетом функции относительно точки а. Вычет относительно а можно обозначь знаком

Из формулы (3.50) при найдем:

где — достаточно малая окружность с центром а.

Основная теорема о вычетах

Если функция аналитична внутри замкнутого контура С и на нем, за исключением конечного числа точек внутри С, то равен произведению на сумму вычетов относительно особых точек лежащих внутри С.

Рис. 44.

Пусть (рис. 44) — особые точки лежащие внутри , и — вычеты относительно них. Пусть окружности вокруг этих точек, лежащие внутри С и вне друг друга. Тогда по теореме Коши для сложного контура и в силу формулы (3.54) получим:

что и требовалось доказать.

Таким образом, для вычисления интеграла вдоль замкнутого контура С достаточно знать вычеты функции относительно особых точек, лежащих внутри С.

Вычисление вычета относительно простого полюса

Пусть где аиалитичнм в окрест носги а и точка а есть простой нуль для Тогда а будет простым полюсом для Имеем где аналитична в окрестности . Тогда в окрестности точки а функция аналитична и

следовательно, вблизи точки а

откуда

Но ; следовательно,

Примеры.

Вычеты логарифмической производной мероморфной функции

Пусть — мероморфная функция. Тогда логарифмическая производная будет также мероморфной, причем нули и полюсы будут простыми полюсами для

В самом деле, имеем в окрестности точки а:

аналитична,

Следовательно (учитывая аналитичность второго слагаемого оравой части в окрестности а),

Таким образом, вычет логарифмической производной равен порядку данной функции в этой точке. Из этого замечания и из основной теоремы о вычетах вытекает (учитывая, что порядок в нуле порядка равен , порядок в полюсе порядка равен — следующая теорема.

Теорема о логарифмических вычетах. Если мероморфна внутри замкнутого контура и на нем, причем на контуре не имеет нулей и полюсов, то интеграл

равен произведению на разность между числом нулей функции лежащих внутри С (считая каждый нуль столько раз, какова его кратность), и числом полюсов функции лежащих внутри С (считая каждый полюс столько раз, какова его кратность).

Таким образом,

где -сумма кратностей нулей функции лежащих внутри С; Р — сумма кратностей полюсов функции лежащих внутри С.

Формула (3.56) легко обобщается. Заметим сперва, что если а — простой полюс для аналитична в окрестности точки , то

В самом деле, в окрестности точки а имеем:

где аналитична в окрестности а,

следовательно, равенство (3.55 справедливо.

Пусть удовлетворяет отмеченным выше условиям и — какая-нибудь аналитическая функция в области, ограниченной контуром С, и на нем. Так как каждая особая точка логарифмической производной мероморфной функции есть простой полюс, то для всякой точки а, являющейся нулем или полюсои имеем:

где — порядок в точке а. Поэтому из основной теоремы о вычетах следует, что если — нули лежащие внутри С, тк — кратности их, — полюсы лежащие внутри — кратности их, то

При эта формула обращается в (3.56).

Вычисление вычета относительно кратного полюса

Пусть а есть -кратный полюс для Тогда в окрестное) и точки а имеем

[где аналитична в окрестности точки а]; отсюда

в окрестности точки а. Дифференцируя это равенство раз; получаем:

Но для последнего слагаемого точка а является нулем, так как для точка а является нулем кратности не ниже (при каждом дифференцировании кратность нуля понижается на единицу), следовательно, в пределе при и получим:

откуда

Таким образом, если а есть -кратный полюс для то

Из этой формулы при легко получить выведенную ранее формулу (3.55) для вычисления вычета относительно простого полюса.

Пример.

Приложение вычетов к вычислению несобственных интегралов

Пусть функция, имеющая выше действительной оси лишь конечное число особых точек (рис. 45) и не имеющая особых точек на действительной оси. При достаточно большом, точки будут лежать внутри

верхнего полукруга радиуса с центром 0. Имеем (С обозначает контур полукруга):

но

где -верхняя полуокружность радиуса с центром . Если при (в верхней полуплоскости) стремится к нулю быстрее, чем у, т. е. если где о при (в верхней полуплоскости), то

Рис. 45.

В самом деле, для всякого найдется такое что при имеем . Тогда

что и требовалось доказать.

Следовательно, из (3.58) в пределе при получим (понимая как

Итак, если аналитична в верхней полуплоскости за исключением конечного числа особых точек, лежащих выше действительной оси, и если при

(в верхней полуплоскости) стремится к нулю быстрее, чем существует и равен произведению на сумму вычетов относительно особых точек, лежащих в верхней полуплоскости.

В частности, если имеет в нуль кратности 2, не имеет особых точек на действительной оси и имеет только конечное число особых точек выше действительной оси, то формула (3.58) применима.

В частности, (3.58) применима, если есть рациональная дробь, в которой знаменатель не имеет действительных корней и степень знаменателя превышает степень числителя более чем на единицу.

Пример 1. Найти Корни знаменателя суть

Следовательно,

Пример 2. Найти Корни знаменателя суть кратности следовательно, учитывая (3.57), получаем:

Приложение основной теоремы Коши к вычислению несобственных интегралов

Не останавливаясь на общих соображениях, вычислим в качестве примера такого приложения интегралы Френеля

Рассмотрим целую функцию По теореме Коши интеграл по всякому спрямляемому замкнутому контуру от этой функции равен нулю; в частности, равен нулю интеграл по контуру сектора (рис. 46). Следовательно,

Имеем

Рис. 46.

Комплексное параметрическое уравнение дуги есть следовательно,

откуда (учитывая неравенство при

и поэтому при

Комплексное параметрическое уравнение отрезка есть

следовательно,

откуда [считая известной формулу (4.10) главы IV]

Из сказанного заключаем, что, переходя в равенстве

к пределу при получим:

причем попутно устанавливается сходимость этого несобственного интеграла.

Отсюда, переходя к сопряженным величинам, найдем:

Отделяя действительную и мнимую части в (3.59), получим:

откуда (вследствие четности подынтегральных функций)