ГЛАВА III. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ

§ 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Если комплексному числу отнести точку на плоскости с прямоугольными координатами то между комплексными числами и точками плоскости (назонем ее плоскостью комплексного переменного) установится взаимно однозначное соответствие.

Если комплексное число — действительное (т. е. , тогда ), то соответствующая точка лежит на оси абсцисс, и наоборот. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью. Если комплексное число — мнимое (т. е. ), то соответствующая точка лежит вне оси абсцисс, и наоборот. Если комплексное число чисто мнимое (т. е. ), тогда то соответствующая точка лежит на оси ординат, и наоборот (за исключением начала координат). Поэтому ось ординат называют мнимой осью.

Полярные координаты точки, изображающей рассматриваемое комплексное число (если взять полюс в начале координат и направить полярную ось по оси абсцисс), называются соответственно модулем и аргументом комплексного числа и обозначаются соответственно Очевидно, причем равно нулю только при При имеет бесконечно много значений, получающихся из какого-нибудь одного по формуле — произвольное целое число). При не определен.

Формулы, связывающие прямоугольные координаты с полярными, показывают, что

(причем, в последней формуле, очевидно, пригодны не все аначеиия арктангенса). Из находим:

Выражение (3.1) называют тригонометрической формой комплексного числа Обратно, если комплексное число записано в форме (3.1), где действительны, причем неотрицательно, то будет модулем, а — одним из аргументов числа

Если каждой точке М плоскости комплексного переменного отнести вектор то появится возможность представлять комплексные числа векторами.

Сложение и вычитание комплексных чисел сводится к сложению и вычитанию соответствующих векторов. Отсюда следует, что для любых комплексных чисел

откуда, по индукции, для любых комплексных чисел

Из (3.2) следует, что

ибо из по (3.2) находим откуда следует (3.3). Заметим, что модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти числа.

При умножении комплексных чисел модули перемножаются, аргументы складываются. В самом деле, пользуясь тригонометрической формой комплексных чисел, найдем:

Отсюда следует, что при делении комплексных чисел модули делятся, аргументы вычитаются.

Из правила умножения комплексных чисел следует, что при возведении в степень с пелым положительным показателем модуль возводится в степень, аргумент умножается на Это приводит к формуле Муавра

Раскрывая левую часть (3.4) по формуле бинома Ньютона и отделяя действительную часть от мнимой, получим формулы для косинуса и синуса кратных углов:

Тригонометрическая форма комплексных чисел приводит к простому правилу извлечения корней из комплексных чисел. Корень степени из комплексного числа имеет значений. Пусть

есть рассматриваемое комплексное число и

есть какой-нибудь корень степени из него (т. е. число, удовлетворяющее равенству Тогда

откуда где — некоторое целое число. Следоаательно,

Обратно, при всяком целом последнее выражение является корнем степени из (ибо степень его равна ). Но упомянутые выражения для двух аначений будут различными комплексными числами лишь в случае, когда эти значения отличаются на число, не кратное . Отсюда

следует, что, давая значения мы получим все виачения и, таким образом, видим, что число втих значений равно Все значения определяются формулой

Соответствующие им точки лежат на одной окружности с центром в точке 0 и делят ее на равных частей. Следовательно, точки, изображающие значения корня степени из комплексного числа, являются вершинами правильного -угольника с центром 0.

В частности, при (тогда ) получим:

Пусть тогда комплексное число называется сопряженным для Точки, соответствующие симметричны относительно действительной оси. Очевидно, что комплексное число совпадает со своим сопряженным только тогда, когда оно действительное. Непосредственно проверяется, что сопряженные суммы, разности, произведения, частного равны соответственно сумме, ревности, произведению, частному сопряженных, т. е.

Заметим еще, что