§ 10. ФОРМУЛА СТОКСА

Эта формула преобразовывает криволинейный интеграл вдоль замкнутой пространственной кривой в поверхностный интеграл по поверхноств, натянутой на эту кривую.

Рис. 19.

Пусть — кусок поверхности, имеющий в каждой точке касательную плоскость, направление которой непрерывно зависит от точки поверхности, или могущий быть разбитым на конечное число таких частей. Замкнутая кривая С, ограничивающая 5, предполагается имеющей в каждой точке касательную, направление которой непрерывно зависит от точки кривой (или же С сосюит из конечного числа дуг, удовлетворяющих этому требованию). Пусть — непрерывные функции, имеющие непрерывные частные производные во всех точках поверхности (и точках, достаточно близких к ).

Пусть сперва кусок поверхпоаи может быть представлен уравнением Пусть — проекция на

плоскость — проекция С на плоскость Если

— параметрические уравнения Г (пусть возрастанию отвечает обход Г в положительном направлении), то

где будут параметрическими уравнениями С.

Полагая и используя правило преобразования криволинейного интеграла в простой интеграл, можем написать:

причем в последнем интеграле следует понимать как

т. е. как функции двух переменных .

Формула Грина, преобразовывающая криволинейный интеграл по замкнутому контуру в двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром, дает:

но (используем формулу полной производной и полагаем

откуда

Из равенств и формулы (2.36) (см. конец § 7) получаем искомую формулу Стокса:

где направление обхода контура С берется положительном для выбранной стороны поверхности. Но эта формула доказана пока лишь для куска поверхности специального вида.

Меняя роли переменных, получим формулу (2.45) также для поверхностей 5, изобразимых уравнением вида или уравнением вида . В общем случае разобьем на конечное число частей, каждая из которых изобразима либо уравнением вида , либо уравнением вида либо уравнением вида (мы ограчиваемся

поверхностями 5. которые могут быть разбиты таким образом). Применяя к каждой части формулу (2.45) и складывая полученные равенства (при этом интегралы по перегородкам взаимно уничтожатся), докажем справедливость формулы (2.45) для рассматриваемого куска поверхности. Теперь формула Стокса (2.45) доказана в общем виде.