§ 10. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ
Пусть 
аналитическая функция в области, ограниченной кусочно-гладким замкнутым контуром С (рис. 32), и на этом контуре. Фиксируем точку 
внутри С и составим функцию
Эта функция аналитичн во всех точках внутри контура С и на нем, 
исключением точки 
Однако при 
имеем 
поэтому если доопределить функцию у в точке 
требованием 
то 
станет непрерывкой функцией в ограниченной замкнутой области, ограниченной контуром С, и, следовательно, будет ограниченной.
Рис. 32.
Таким образом, в рассматриваемой области 
где К — некоторое положительное число.
Пусть 
— круг радиуса 
с центром 
лежащий внутри С. По теореме Коши для сложного контура имеем:
но согласно правилу оценки модуля интеграла (3.37) имеем:
следовательно, переходя к пределу при 
в последнем равенстве, получим:
или
или
Но согласно теореме Коши для сложного контура и и силу (3.36)
поэтому предыдущее равенство принимает вид:
откуда
Формула (3.40) называется интегральной формулой Коши и является центральной формулой теории аналитических функций. Из формулы (3.40) видно, что значения аналитиче ской функции внутри С вполне определяются вначениями этой функции на С. Праиая часть формулы (3.40) называется интегралом Коши.
Рис. 33.
Вместо простого замкнутого контура С можно брать сложный контур Г, состоящий из наружного контура и нескольких внутренних контуров (рис. 33). Тогда в результате такого же рассуждения найдем, что если 
— аналитическая функция и области, ограниченной сложным контуром Г, и на нем, то
для всякой точки 
в втой области справедливо равенство
Это — интегральная формула Коши для сложного контура.
