ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

§ 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Пусть — функция, определенная на всей числовой прямой. Число Г называется периодом этой функции, если от прибавления его к аргументу величина функции не меняется, т. е. если для всех х имеем

Если Т есгь цериод функции, то где —любое целое число, есть тоже период рассматриваемой функции. Таким образом, всякое кратное периода есть период. Функция, имеющая период, отличный от нуля, называется периодической.

Легко видеть, что всякая периодическая функция, отличная от постоянной, имеющая хотя бы одиу точку непрерывности, имесг среди своих положительных периодов наименьший. Тогда все прочие периоды будут кратны ему. Обычно, говоря о периоде функции, понимают под словом «период» наименьший из положительных периодов.

Если функция имеет период Т, то имеет период . В самом деле,

Если имеет период Т, то интеграл этой функции, взятый в пределах, отличающихся на Т, не зависит от выбора нижнего предела интегрирования, т. е.

при всяком с. Действительно, пусть, например, Тогда

учитывая, что вследствие периодичности,