§ 9. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ

Пусть функция

аналитична в односвязной области Предположим, что частные производные первого порядка от и существование которых вытекает из аналитичности непрерывны в области (заметим, что это предположение не является ограничением, ибо так всегда будет, но на определения аналитической функции этого непосредственно не видно). Пусть С — какой-нибудь кусочно-гладкий замкнутый путь, лежащий в тогда в силу (3.34)

в силу условий Коши—Римана инеем следовательно, выражения являются полными дифференциалами в односвязной области поэтому интегралы по замкнутому контуру С от них равны нулю и, следовательно, Таким образом, справедлива следующая теорема.

Основная теорема Коши. Если функция аналитична в односвязной области то интеграл от этой функции вдоль всякого кусочно-гладкого замкнутого контура, лежащего в области равен нулю.

В частности, если С — простой замкнутый контур и аналитична внутри него и на нем, то

Теорема Коши для сложного контура

Пусть С — простой замкнутый контур и — простые замкнутые контуры, лежащие внутри С и вне друг друга. Пусть аналитична в области, заключенной между контуром С и контурами и на всех этих контурах. Тогда

Рис. 30.

В самом деле, пусть, например, внутри контура С (рис. 30) лежат два контура аналитична между контуром С и контурами а также на всех этих кон турах. Проведя простые гладкие дуги соединяющие получим в силу основной

теоремы Коши:

Складывая эти равенства почленно и замечая, что по каждой из дуг интегрирование происходиг два раза в различных направлениях, получим:

или

Рис. 81.

В частности, если аналитична в окрестности точки а, кроме самой точки а, то интегралы по всем достаточно малым простым замкнутым контурам, окружающим а (взятым в одинаковом направлении, например положительном), равны между собой. В самом деле, пусть — достаточно малые контуры, окружающие а, и — контур, окружающий а и лежащий одновременно внутри С, и внутри По доказанному

откуда

формулу можно переписать еще так:

или

где Г есть сложный контур, составленный наружного контура С и внутренних контуров причем положительное направление обхода Г обозначает, что ограничиваемая область должна оставаться слева (следовательно, обход наружного контура происходит в положительном направлении, а обходы внутренних контуров происходят в отрицательном направлении).

Интеграл с переменным верхним пределом

Пусть аналитична в односвявной области Из того факта, что интегралы этой функции по замкнутым путям, лежащим в равны нулю, следует, что интеграл от не зависит от формы пути, а зависит лншь от начальной и конечной точек пути. Поэтому при обозначении интеграла нет надобности укавывать путь, а достаточно лишь называть начало и конец пути, употребляя обозначение

Рассмотрим функцию (интеграл с переменным верхним пределом)

Тогда

Так как в точке функция непрерывна, то для всякого найдется такое что при будем иметь . Беря в качестве пути, соединяющего с прямолинейный отрезок и пользуясь оценкой (3.37), получим при

откуда следует, что

Таким образом, аналитическая функция всегда имеет первообразную. В качестве таковой может быть взят интеграл с переменным верхним пределом.

Лемма. Если в некоторой области, то в этой области

Полагая найдем из условия но тогда и, следовательно,

Из этой леммы следует, что всякие две первообразные от одной функции отличаются на постоянное. В самом деле, если то и поэтому на основании леммы

Обозначая знаком любую первообразную для аналитической функции найдем на основании сказанного:

где С — произвольное комплексное число.

Примечание. Техника отыскания первообразных (техника интегрирования) для аналитических функций формально не отличается от техники интегрирования элементарных функций действ» тельного переменного, и мы не будем останавливаться на ней.