Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
в силу условий Коши—Римана инеем
следовательно, выражения
являются полными дифференциалами в односвязной области
поэтому интегралы по замкнутому контуру С от них равны нулю и, следовательно,
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Основная теорема Коши. Если функция
аналитична в односвязной области
то интеграл от этой функции вдоль всякого кусочно-гладкого замкнутого контура, лежащего в области
равен нулю.
В частности, если С — простой замкнутый контур и
аналитична внутри него и на нем, то
Теорема Коши для сложного контура
Пусть С — простой замкнутый контур и
— простые замкнутые контуры, лежащие внутри С и вне друг друга. Пусть
аналитична в области, заключенной между контуром С и контурами
и на всех этих контурах. Тогда
Рис. 30.
В самом деле, пусть, например, внутри контура С (рис. 30) лежат два контура
аналитична между контуром С и контурами
а также на всех этих кон турах. Проведя простые гладкие дуги
соединяющие
получим в силу основной
теоремы Коши:
Складывая эти равенства почленно и замечая, что по каждой из дуг
интегрирование происходиг два раза в различных направлениях, получим:
или
Рис. 81.
В частности, если
аналитична в окрестности точки а, кроме самой точки а, то интегралы по всем достаточно малым простым замкнутым контурам, окружающим а (взятым в одинаковом направлении, например положительном), равны между собой. В самом деле, пусть
— достаточно малые контуры, окружающие а, и
— контур, окружающий а и лежащий одновременно внутри С, и внутри
По доказанному
откуда
формулу
можно переписать еще так:
или
где Г есть сложный контур, составленный
наружного контура С и внутренних контуров
причем положительное направление обхода Г обозначает, что ограничиваемая область должна оставаться слева (следовательно, обход наружного контура происходит в положительном направлении, а обходы внутренних контуров происходят в отрицательном направлении).
Интеграл с переменным верхним пределом
Пусть
аналитична в односвявной области
Из того факта, что интегралы этой функции по замкнутым путям, лежащим в
равны нулю, следует, что интеграл от
не зависит от формы пути, а зависит лншь от начальной и конечной точек пути. Поэтому при обозначении интеграла нет надобности укавывать путь, а достаточно лишь называть начало и конец
пути, употребляя обозначение
Рассмотрим функцию (интеграл с переменным верхним пределом)
Тогда
Так как в точке
функция
непрерывна, то для всякого
найдется такое
что при
будем иметь
. Беря в качестве пути, соединяющего
с
прямолинейный отрезок и пользуясь оценкой (3.37), получим при
откуда следует, что
Таким образом, аналитическая функция всегда имеет первообразную. В качестве таковой может быть взят интеграл с переменным верхним пределом.
Лемма. Если
в некоторой области, то в этой области
Полагая
найдем из условия
но тогда
и, следовательно,
Из этой леммы следует, что всякие две первообразные от одной функции отличаются на постоянное. В самом деле, если
то
и поэтому на основании леммы
Обозначая знаком
любую первообразную для аналитической функции
найдем на основании сказанного:
где С — произвольное комплексное число.
Примечание. Техника отыскания первообразных (техника интегрирования) для аналитических функций формально не отличается от техники интегрирования элементарных функций действ» тельного переменного, и мы не будем останавливаться на ней.