§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ

Формула Дирихле

Пусть непрерывна в треугольнике (рис. 66).

Рис. 66.

Преобразуя двойной интеграл двумя способами в двукратный и сравнивая результаты, получим искомую формулу Дирихле:

Свертка функций

Пусть — непрерывные, комплекснозначные функции на Сверткой функций называется функция, обозначаемая и определяемая равенством

Это будет непрерывная функция на Очевидно,

При с помощью формулы Дирихле находим:

следовательно, если записать внутренний интеграл в виде получим формулу

Из (5.5) следует, что при 0, 90 и действительном

следовательно, при комплексноэначных и действительном

откуда видно, что если — оригиналы, то — тоже оригинал, причем показатель роста не более наибольшего из показателей роста .

Свертка оригиналов

Теорема. При свертывании оригиналов изображения перемножаются, т. е. если и то

Доказательство. Для простоты мы имеем в виду лишь непрерывные на оригиналы. Учитывая формулу (5.5), достаточно показать, что

Пусть тогда, если больше показателей роста то

что при что и требовалось доказать.

Пример. Найти свертку где Имеем [делай в интеграле подстановку и учитывая формулы (4.7) и (4.9)]:

и. в частности, при целых неотрицательных

Формула Дюамеля

Пусть — непрерывный на оригинал, -непрерывно дифференцируемая на функция такая, что есть оригинал. Из

Из правила дифференцирования интегралов, зависящих от параметра, следует, что левая часть непрерывно дифференцируема на причем

Отсюда в силу свойства 4 § 3 получаем искомую формулу Дюамеля