§ 16. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Точки, в которых нарушается аналитичность функции, называются особыми. Если в достаточной близости к особой точке а нет других особых точек, то особая точка а называется изолированной особой точкой. Если а есть изолированная особая точка функции то в достаточно малом круге с выколотым центром а функция будет аналитичной и, следовательно, разлагается в ряд Лорана

Логически возможны и исключают друг друга следующие три случая:

1) в разложений (3.52) нет членов с отрицательными показателями;

2) в разложении (3.52) есть лишь конечное число членов с отрицательными показателями;

3) в разложении (3.52) есть бесконечно много членов с отрицательными показателями.

В этих случаях особая точка а называется соответственно

1) устранимой; 2) полюсом; 3) существенно особой.

Члены разложения с отрицательными показателями составляют главную часть в окрестности особой точка а.

Если а — устранимая, то в окрестности точки а

следовательно, после надлежащего доопределения функции в точке функция становится аналитической в точке а и «особенность устраняется». В достаточно малой окрестности устранимой особой точки функция ограничена. Обратно, если ограничена в некоторой окрестности изолированной особой точки то эта точка есть устранимая особая. В самом деле, при и достаточно малом имеем в силу откуда в пределе получим , следовательно,

Если а — полюс, то в окрестности а имеем:

, откуда

где

есть аналитическая функция в окрестности точки а, причем Обратно, если где

аналитична в окрестности то а есть полюс порядка для называется порядком полюса а, полюсы кратности 1 называются простыми, полюсы кратности -двойными, полюсы кратности 3 — тройными).

Из такого выражения для следует, что при имеем Таким образом, при стремлений независимого переменного к полюсу аналитической функции функция стремится к бесконечности. Легко видеть, что если а есть -кратный нуль для то а будет -кратным полюсом для , так как из равенства аналитическая в окрестности а, отличная от нуля в следует:

(но аналитическая в окрестности а и отличается от нуля в а).

Если а — существенно особая точка, то в любой окрестности а значения функции как угодно близко подходят к любому комплексному числу (теорема Сохоцкого). В самом деле, если бы в некоторой окрестности точки а имели где 0, то была бы ограничена вблизи а и, следовательно, а являлась бы устранимой особой точкой для поэтому где аналитична в окрестности а, но тогда вокруг а имеем откуда следует, что а является для либо устранимой особой точкой [если , либо полюсом [если ], что противоречит условию.

Справедлива более глубокая теорема Пикара, согласно которой в любой окрестности существенно особой точки аналитическая функция не только как угодно близко подходит к любому комплексному числу, но принимает все комплексные значения, кроме, быть может, одного.

Если в области функция может иметь в качестве особых точек только полюсы, то навивается

мероморфной в области Пусть мероморфна в области - какая-нибудь точка этой области. Тогда в окрестности точка а имеем:

где аналитична в окрестности а и Число назовем порядком функции в точке а. Если то нуль порядка для если то не ровна нулю в точке а; если то а есть полюс порядка для При умножении (делении) мероморфных функций порядки их в каждой точке складываются (вычитаются).

Бесконечно удаленная точка

Если к плоскости и комплексного переменного добавить один несобственный элемент, называемый бесконечно удаленной точкой то получим полную плоскость комплексного переменного. Полная плоскость комплексного переменного в известном смысле слова подобна сфере. Это можно видеть с помощью стереографической проекции.

Рис. 43.

Пусть имеем сферу (рис. 43), касающуюся плоскости комплексного переменного в точке О (южный полюс). Соединив отрезком прямой северный полюс с точкой обозначим через М точку пересечения отрезка со сферой. Если каждому комплексному числу отнести соответствующую точку М, то между всеми комплексными числами и точками М сферы (кроме северного полюса) будет установлено взаимно однозначное соответствие. Добавляя несобственный элемент и ставя его в соответствие северному полюсу, получим взаимно однозначное соответствие между точками полной плоскости комплексного переменного и точками сферы.

Окрестностью бесконечно удаленной точки назовем внешность какого-нибудь круга с центром О (чем больше радиус этого круга, тем «меньше» окрестность точки

Пусть аналитична в окрестности бесконечно удаленной точки. Тогда вне некоторого круга с центром О она

изобразится рядом Лорана

Логически возможны и исключают друг друга следующие три случая:

1) в разложении (3.53) нет членов с положительными показателями;

2) в разложении (3.53) есть лишь конечное число членов с положительными показателями;

3) в разложении (3.53) есть бесконечно много членов с положительными показателями.

В этих случаях называется соответственно: 1) устранимой особой точкой, 2) полюсом; 3) существенно особой точкой. Подстановка приводит изучение функции в окрестности точки к изучению функции в окрестности точки 0. Поэтому в случае устранимой особой точки функция стремится к конечному пределу при (после надлежащего доопределения функции в функцию следует считать аналитической в окрестности в случае полюса в функция стремится к при в случае существенно особой точки в функция в любой окрестности как угодно близко подходит к любому комплексному числу.

Если в окрестности

причем , то называется нулем порядка для