Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 16. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИТочки, в которых нарушается аналитичность функции, называются особыми. Если в достаточной близости к особой точке а нет других особых точек, то особая точка а называется изолированной особой точкой. Если а есть изолированная особая точка функции
Логически возможны и исключают друг друга следующие три случая: 1) в разложений (3.52) нет членов с отрицательными показателями; 2) в разложении (3.52) есть лишь конечное число членов с отрицательными показателями; 3) в разложении (3.52) есть бесконечно много членов с отрицательными показателями. В этих случаях особая точка а называется соответственно 1) устранимой; 2) полюсом; 3) существенно особой. Члены разложения с отрицательными показателями Если а — устранимая, то в окрестности точки а
следовательно, после надлежащего доопределения функции в точке Если а — полюс, то в окрестности а имеем:
где
есть аналитическая функция в окрестности точки а, причем аналитична в окрестности Из такого выражения для
(но аналитическая в окрестности а и отличается от нуля в а). Если а — существенно особая точка, то в любой окрестности а значения функции Справедлива более глубокая теорема Пикара, согласно которой в любой окрестности существенно особой точки аналитическая функция не только как угодно близко подходит к любому комплексному числу, но принимает все комплексные значения, кроме, быть может, одного. Если в области мероморфной в области
где Бесконечно удаленная точкаЕсли к плоскости и комплексного переменного добавить один несобственный элемент, называемый бесконечно удаленной точкой
Рис. 43. Пусть имеем сферу (рис. 43), касающуюся плоскости комплексного переменного в точке О (южный полюс). Соединив отрезком прямой северный полюс с точкой Окрестностью бесконечно удаленной точки назовем внешность какого-нибудь круга с центром О (чем больше радиус этого круга, тем «меньше» окрестность точки Пусть изобразится рядом Лорана
Логически возможны и исключают друг друга следующие три случая: 1) в разложении (3.53) нет членов с положительными показателями; 2) в разложении (3.53) есть лишь конечное число членов с положительными показателями; 3) в разложении (3.53) есть бесконечно много членов с положительными показателями. В этих случаях Если в окрестности
причем
|
1 |
Оглавление
|