Коши для сложного контура
Первое слагаемое правой части на основания выкладок § 14 представляется рядом
где
причем Г — какая-нибудь фиксированная концентрическая окружность внутри кольца.
Рис. 42.
Остается преобразовать второе слагаемое 
Положим 
и радиус круга С обозначим через 
Тогда при С на С имеем:
и так как 
, то последнее выражение можно рассматривать как сумму убывающей геометрической прогрессии с первым членом 
и знаменателем 
Таким образом,
этого ряда — равномерная по С на С (при фиксированном), так как этот ряд мажорируется числовой убывающей геометрической прогрессией Умножая на 
интегрируя почленно по С и деля на 
получим:
где
замена С на Г законна, так как 
аналитична между С и Г, включая их].
Складывая разложения
получим разложение 
в ряд по целым степеням 
с показателями 0. Этим доказана следующая теорема.
Теорема. Всякая функция 
аналитическая внутри кольца с венгром а, может быть разложена внутри этого кольца в ряд
коэффициенты которого определяются формулой
где 
какая-нибудь окружность с центром а, лежащая внутри данного кольца
Этот ряд называется рядом Лорана для 
в рассматриваемом кольце.
Если функция 
разложена в кольце с центром а в какой-нибудь ряд вида
то, рассуждая дословно, как в соответствующем месте § 14, получим:
где Г — окружность с центром а, лежащая внутри кольца.
Этям доказана единственность разложения аналитической функции в кольце с центром а в 
по целым (степеням 
Оценка модулей коэффициентов ряда Лорана
Если на окружности Г, лежащей внутри кольца, модуль функции 
не превышает М, то, обозначая через 
радиус окружности, получим как при выводе неравенств (3.48) аналогичные неравенства
- аналитическая функция внутри кольца (рис. 42) мехду двумя окружностями с центром а (если радиус внутренней окружности равен 
, то кольцо становится кругом с «выколотым» центром; если радиус внешней окружности равен 
то кольцо становится внешностью круга; если упомянутое происходит одновременно, то кольцо становится <плоскостью с выколотой точкой). Пусть 
— точка внутри этого кольца, 
— концентрические окружности, лежашие внутри колька и такие, что 
лежит внутри С и вне С. По формуле
