ГЛАВА II. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

§ 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Вектором называется направленный отрезок прямой. Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину, параллельны и одинаково направлены.

В печати векторы часто обозначают полужирными буквами. Например, буква а обозначает вектор в отличие от скаляра (числа)

Длину вектора а будем обозначать

Угол между векторами обозначим Угол между векторами берется в границах от 0 до Угол между теряет определенность, если хотя бы один из векторов нулевой.

Проекцию вектора а на ненулевой вектор обозначим Имеем

Суммой векторов называется вектор — диагональ параллелограмма, построенного на векторах и обозначается а Сложение векторов подчиняется перестановочному закону и сочетательному закону Из этих законов следует, что при сложении векторов допустимы изменение порядка слагаемых и любая группировка слагаемых. Вычитание векторов есть действие, обратное сложению.

Произведение вектора а на скаляр X, обозначаемое пли определяется как вектор, параллельный а, одинаково пли противоположно направленный, смотря по тому, будет ли или , имеющий длину Произведение вектора на скаляр подчиняется сочетательному закону вектор, X и скаляры) и двум распределительным законам: векторы; скаляры).

Скалярное произведение двух векторов a и b есть скаляр, обозначаемый и определяемый формулой

Очевидно, Скалярное произведение векторов подчиняется перестановочному закону и распределительному закону

Векторное произведение двух векторов есть вектор, обозначаемый , имеющий длину, равную площади параллелограмма, построенного на ортогональный плоскости этого параллелограмма и направленный так, что видимый из конца вектора переход от а к А происходит в положительном направлении (в случае правой ориентировки). Вентерное произведение двух векторов подчинено антикоммутативному закону и распределительному закону

Произведение трех векторов , обозначаемое есть скаляр, равный , где -объем параллелепипеда, построенного на векторах , причем знак берется в зависимости от положительной или отрицательной ориентировки системы рассматриваемых векторов. При круговой перестановке множителей оно не меняется: при перестановке двух множителей меняется знак: Произведение трех векторов равно смешанному векторно-скалярному произведению

Рассмотрим прямоугольную систему координат в пространстве (правую). Пусть — единичные векторы (орты), направленные по осям Пусть — какой-нибудь вектор. Проекции его на (или, что то же, на называются его координатами. Координаты а обозначим Два вектора равны тогда и только тогда,

когда их координаты соответственно равны. Поэтому для доказательства равенства двух векторов достаточно установить равенство соответствующих координат.

Всякий вектор а может быть разложен по ортам:

При сложении векторов координаты их складываются (при вычитании вычитаются), при умножении вектора на скаляр координаты умножаются на этот скаляр.

Выражение скалярного произведения векторов a и b через их координаты имеет вид

что непосредственно получается, если разложить по ортам, выполнить умножение полученных сумм и принять во внимание, что

Выражение векторного произведения векторов через их координаты имеет вид

что непосредственно получается, если разложить по ортам, выполнить умножение полученных сумм и принять во внимание, что (нулевой вектор);

Выражение произведения трех векторов с через координаты на основании сказанного имеет вид