§ 6. ПРИЛОЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Из общего курса математического анализа известно, что все решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, правая часть которых есть линейная комбинация функций вида являются функциями такого же вида. То же относится и к системам линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, правые части которых являются линейными комбинациями функций вида Но линейные комбинации выражений если их рассматривать на являются оригиналами с рациональными изображениями. Это подсказывает нижеследующий прием отыскания решения названных линейных уравнений и систем линейных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям Коши.

Линейные дифференциальные уравнения

Требуется найти решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

удовлетворяющее начальным условиям Коши

когда есть линейная комбинация функций вида

Пусть Тогда из рассматриваемого дифференциального уравнения и начальных условий Коши следует (в силу свойств 1, 2, 5 § 3):

или

откуда

Итак, изображение искомого решения находится по формуле (5.18). Разлагая правильную рациональную дробь на простейшие элементы, найдем с помощью формулы (5.16) искомое решение . В случае однородного уравнения имеем , следовательно,

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью, являющейся линейной комбинацией функций вида сводится к разложению некоторой правильной рациональной дроби на простейшие дроби.

Пример 1. Решить уравнение при начальных условиях

Здесь

следовательно,

Пример 2. Решить уравнение при начальных условиях

Здесь

следовательно,

Системы линейных дифференциальных уравнений

Требуется найти решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

удовлетворяющее начальным условиям Коши

когда являются линейными комбинациями функций вида

Пусть , тогда из рассматриваемой системы дифференциальных уравнений и начальных условий Коши следует (а силу свойств ):

или

Пусть

обозначает алгебраическое дополнение элемента строки и столбца матрицы этого определителя. Тогда с помощью правила Крамера находим:

Итак, изображения функций составляющих искомое решение рассматриваемой системы дифференциальных уравнений, находятся по формуле (5.19). Разлагая правильные рациональные дроби на простейшие дроби, найдем с помощью формул (5.16) искомые функции В случае однородной системы все , следовательно, все

Таким образом, решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и правыми частями, являющимися линейными комбинациями выражений вида сводится к разложению нескольких правильных рациональных дробей на простейшие дроби.

Пример. Решить систему

при начальных условиях

Здесь

следовательно,