§ 5. РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2pi
Пусть 
— четная функция с периодом 
, удовлетворяющая условиям определения § 2.
Для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 
выглядит так:
где
Пусть теперь 
— нечетная функция с периодом 
, удовлетворяющая условиям определения § 2. Для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы
Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функция отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 
выглядит так:
где
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию
имеющую период 
(в точках 
, где 
— целое, полагаем 
.
Очевидно, 
нечетная функция (рис. 1), поэтому в силу (1.12) имеем:
значит, 
и искомое разложение есть
Отсюда при 
получим:
Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию 
на 
, имеющую период 
Рис. 1
Рис. 2.
Очевидно, 
— четная фуикцня (рис. 2), поэтому в силу (1.11) имеем:
Следовательно.
и искомое разложение есть
Отсюда, в частности, при 
получим:
откуда
Зная сумму этого ряда, легко найти
Имеем:
следовательно, 
т. е.
