§ 6. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ ДЛЯ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ АРГУМЕНТА

Пусть — положительная функция и — какая-нибудь (вообще комнлекснозначная) функция, определенные для достаточно больших значении х. Запись

означает, что найдутся такие числа что при имеем

Подобная вапись употребляется и в других аналогичных случаях. Например, еслн — положительная функция и какая-нибудь функция, определенные для достаточно малых положительных значений то запись

означает, что найдутся такие чисел , что на .

Вспомогательная лемма

Если дважды непрерывно дифференцируема на [0, 1], то для функции

имеет несто асимптотическое представление

Докажем эту лемму. Заменяя на получим:

Рассмотрим интеграл, фигурирующий в первом слагаемом правой части формулы (4.35). Заменяя на найдем:

но, заненив на [учитывая формулу (3.59) гл. III], получим:

Если положитеяьна, убывает и стремится к вулю при , то , а следовательно, и суть при (это видно из выкладок

соответствующего пункта следующего параграфа), полому

откуда

Итак, получаем асимптотическое представление;

Рассмотрим теперь шггеграл, фигуркр) ющий во втором слагаемом правой часш формулы (4.35). Имеем:

где

Очевидно дважды непрерывно дифференцируема на (0, 1], но, как легко видеть, существуют поэтому (после доопределения в точке становится непрерывно дифференцируемой на сегменте Интегрирование по частям дает:

где первое слагаемое правой части есть при а интеграл во втором слагаемом (несобственный при нижнем пределе) мажорируется интегралом

который сходится, так как

следовательно, второе слагаемое есть тоже при

Итак, имеем:

Из (4.35), (4.36), (4.37) получаем искомое асимптотическое представление:

Из этой формулы, переходя к сопряженным величинам, найдем еще:

Формулы (4.38), (4.38) верны для комплекснозначных функций [ибо они верны для

Вывод асимптотической формулы для Jn(x)

В конце § 5 мы вндеам, что

Заменяя на получим:

(учитывая, что есть четная функпия от есть нечетная функпия от Подстановка дает:

где есть, очевидно, полином степени (полином Чебышева), так как из формулы Муавра видно, что есть полином степени относительно Но

и, эаненяя в первом из этих интегралов на получим:

Так как на [0, 1) имеют производные всех порядков, то к двум последним интегралам применимы формулы (4.38 м (4.38), и мы получаем:

но

следовательно,

Итак, имеем искомое асимптотическое представление бесселевой функции рода с целым индексом для больших значений аргумента:

Рис. 61.

Рис. 62.

Эта формула показывает, что с точностью до слагаемого порядка нвлнется затухающей гармоникой с волной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратно пропорционально квадратному корню из абсциссы.

В частности,

Графики этих функций изображены на рис. 61 и 62.