§ 4. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ

Если каждой точке М некоторой области пространства отнесен скаляр то образуется скалярное поле. Если вадать систему прямоугольных коордиват (например, правую), то каждая точка будет иметь некоторые координаты и функция точки станет функцией трех переменных .

Определение. Пусть — какое-нибудь «направление» ( обозначает единичный вектор). Производной по направлению в точке М от скалярной функции называется предел (если существует) отношения приращения при смещения точки М по направлению к величине смещения точки М, когда последнее сгремигся к нулю. Производная по направлению обозначается Таким образом, по определению

где лежит на луче, выходящем по направлению

После введения координат становится фувкцией трех переменных . Предположим, что эта функция имеет вепрерывные частные производные первого порядка. Пусть - углы направления Полагая перепишем формулу (2.10) в виде

или

где

Формула полной производвой дает

следовательно,

или

Определение. Градиентом скалярной функции в точке М называется вектор

Возьмем какое-нибудь направление — единичный вектор); пусть — его углы с координатными осями; тогда На основании формулы (2.1), выражающей скалярное произведение векторов через координаты, имеем:

Следовательно, учитывая получим:

т. е. производная по какому-нибудь направлению равна проекции градиента на это направление. Отсюда получаем следующую инвариантную характеристику градиента: направление градиента характеризуегся тем, что производная но этому направлению будет наибольшей (среди производных от в данной точке по всевозможным направлениям); длина градиента есть наибольшая из производных по направлениям в данной точке. Имеем

Поверхности уровня скалярного поля

Геометрическое место точек, в которых имеет постоянное значение, называется поверхностью уровня.

После задания системы координат уравнение поверхности уровня принимает вид:

Уравнения нормали к этой поверхности в точке будут:

Отсюда видно, что направление нормали совпадает с направлением градиента в рассматриваемой точке.

Формальные свойства градиента

Пусть — два скалярных поля, имеющих градиенты; дифференцируемая скалярная функция одной или нескольких скалярных переменных (с надлежащей областью определения). Тогда

причем в правых частях (2.14), (2.15), (2.17) знакобозначает сложение векторов и встречающиеся в правых частях (2.15), (2.16), (2.17) произведения суть произведения вектора на скаляр. В самом деле,

Многоточия всюду обозначают, что следует вписать второе и третье слагаемые, аналогичные первому, получающиеся из него в ревультате замены на и на