§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

Пусть — комплекснозначная функция, непрерывная на за исключением, быть может, изолированных точек. Если действительное число обладает тем свойством, что несобственный интеграл сходится, то числа, большие также им обладают. Отсюда следует (рассуждая, как в § 3 главы III при введении понятии радиуса сходимости степенного ряда), что либо найдется такое действительное число что при упомянутый несобственный интеграл сходится, а при расходится [число назовем показателем роста функции либо для нсех действительных упомянутый несобственный интеграл сходится (тогда показатель роста функции считаем равным — либо для всех действительных он расходится [тогда показатель роста функции считаем равным

Если показатель роста меньше [будем говорить в этом случае, что имеет ограниченный рост], то абсолютно интегрируема на каждом сегменте [0, а], где

В качестве примера отметим, что если на удовлетворяет неравенству имеет ограниченный рост и показатель роста В самом деле, тогда интеграл при всяком сходится, ибо он мажорируется сходящимся интегралом

Если имеет ограниченный рост» то

является аналитической функцией комплексного переменного в полуплоскости где — показатель роста (число назызают еще абсциссой абсолютной сходимости интеграла Лапласа . В самом деле, упомянутый интеграл равномерно сходится в каждой полуплоскости где ибо на ней он мажорируется сходящимся интегралом значит, рассматриваемый интеграл подавно равномерно сходится внутри области , следовательно, по теореме § 1 является аналитической функцией в этой области.

Определение. Комплекснозначную функцию непрерывную на исключением, быть может, изолированных точек, и имеющую ограниченный рост, назовем оригиналом. Аналитическую функцию комплексного переменного определенную формулой при где — показатель назовем изображением оригинала Преобразование, относящее оригиналу его изображение

называется преобразованием Лапласа. При этом пишут:

Употребляется еще обозначение

(L — знак преобразования Лапласа).

Мы дали здесь более узкое определение оригинала, чем это принято в обшей теории преобразования Лапласа, чтобы в дальнейших выкладках иметь дело лишь с такими понятиями интеграла, которые даются в элементарных общих курсах математического анализа. Такие оригиналы достаючиы для практических надобностей.

Замечания. Если встречается надобность продолжить оригинал на отрицательные значения то полагают при .

Если существует и конечен, то обозначим его если существует и конечен, то обозначим его

Если — оригинал, то, очевидно, будет оригиналом с тем же показателем роста.

Линейная комбинация оригиналов, очевидно, есть оригинал. Если оригинал, то, очевидно, (а — положительное число), — действительное число), (К — комплексное число) тоже будут оригиналами.

Покажем еще, что если — оригинал, то будет непрерывным на оригиналом.

Непрерывность следует из абсолютной интегрируемости на каждом сегменте , где . Далее, если во — показатель роста — положительное число, большее то в случае имеем:

откуда видно, что интеграл сходится и есть оригинал.

Если теперь -комплекснозначная функция, то

но празая часть по доказанному есть оригинал, следовательно, подавно оригинал, что и требовалось доказать.

Теорема. Если есть изображение, то при

Доказательство. Пусть Возьмем настолько малым, чтобы

Тогда при имеем:

Пусть где число, большее показателя роста Тогда

что при достаточно большом.

Следовательно, при достаточно большом имеем:

что и требовалось доказать.

Примечание. Можно показать, что оригинал вполне определяется своим изображением (если фувкцни, отличающиеся лишь в

изолированных точках, считать эквивалентными). Если ограничиться оригиналами, дифференцируемыми всюду, за исключением, быть может, изолированных точек, то этот факт будет следовать из теоремы обращения преобразования Лапласа, доказываемой в § 9.