§ 8. ОРИГИНАЛЫ С ИЗОБРАЖЕНИЯМИ, РЕГУЛЯРНЫМИ В БЕСКОНЕЧНОСТИ

О предельном переходе под знаком несобственного интеграла

Теорема. Пусть — комелекснозначные непрерывные функции на причем где — такая действительная неотрицательная непрерывная функция на что сходится. Пусть затем на и притом равномерно на каждом сегменте , где Тогда

Доказательства Из условий теоремы видно, что непрерывна и Пусть - произвольное положительное число. Так как несобственный интеграл сходится, то найдется такое что Так как на [0, а) равномерно, то , следовательно, найдется такой

номерам, что при будем иметь:

Следовательно, при

что и требовалось доказать.

Примечание. Теорема остается в силе, если предполагать непрерывными на за исключением изолированных точек, и требовать равномерной сходимости лишь на каждом сегменте, лежащем на содержащем упомянутых нзолировавных точек.

Для этого в предыдущее доказательство иужио внести следующие изменения. Выберем а настолько большим и окружим попадающие на точки разрыва настолько малыми сегментами, чтобы сумма интегралов от по этим сегментам и по была меньше . После этого используем тот факт, что на оставшихся сегментах равномерно.

В качестве приложения доказанной теоремы сделаем два замечания о свойствах изображений (когда оригинал удовлетворяет некоторым требованиям).

Замечание 1. Пусть непрерывна на существует, где — неотрицательный непрерывный неубывающий на оригинал. Тогда, если то если

В самом деле, пусть — положительное число, большее показателя роста и пусть Тогда

интеграл

сходится; при равномерно на каждом сегменте где Следовательно, в свлу доказанной теоремы

что и требовалось доказать.

Замечание 2. Пусть непрерывна на существует, где — неотрицательный, непрерывный, невозрастающий на оригинал. Тогда, если то еслв

Сперва заметим, что показатель роста и подавно показатель роста не более нуля в потому имеет смысл при всех Пусть Огде Тогда

сходится; кроме того, при равномерно на каждом сегменте где Следовательно, в силу доказанной теоремы

что требовалось доказать.

Целые функции экспоненциального типа

Определение. Целая функция комплексного переменного называется целой функцией экспоненциального типа, если можно найти такие положительные числа С, а, что для всех комплексных значений выполняется неравенство

Лемма. Для того чтобы степенной ряд изображал целую функцию экспоненциального типа, необходимо и достаточно, чтобы для некоторых положительных чисел выполнялись неравенства

Доказательство необходимости Пусть — целая функция экспоненциального типа. Тогда при всех где — некоторые положительные числа. В силу неравенства (3.48) для модулей коэффициентов ряда Тейлора (гл. III, § 14) находим при всех

Беря получим

поэтому, полагая будем иметь

Доказательство достаточности. Пусть — некоторые положительные числа Тогда, очевидно, степенной ряд сходится для всех в

изображает целую функцию причем для всех имеем:

что и требовалось доказать.

Заметим, что операции линейного комбинирования, умножения на независимое переменное, умножения на показательную функцию, линейного преобразования независимого переменного, дифференцирования и интегрирования, примененные к целым функциям экспоненциального типа, приводи снова к целым функциям экспоненциального типа.

Необходимое и достаточное условие регулярности изображения в бесконечности

Теорема. Для того чтобы изображение было регулярным в бесконечно удаленной точке, необходимо и достаточно, чтобы оригинал являлся целой функцией экспоненциального типа.

Доказательство достаточности. Пусть оригинал есть целая функция экспоненциального типа [точнее, заданная на продолжаема до целой функции экспоненциального типа]. Тогда, в частности при будем иметь:

Очевидно, при имеем:

интеграл сходится; равномерно на каждом [0, а], где

доватедьно, на основании теоремы о предельном переходе под знаком несобственного интеграла

или

но

следовательно,

причем ряд в правой части сходится при и изображает аналитическую функцию в окрестности бесконечно удаленной точки. Это доказывает, что изображение после аналитического продолжения на окрестность бесконечно удаленной точки становится регулярным в ней и

Таким образом, если — целая функция экспоненциального типа и если ее разложение в ряд Тейлора есть то изображение определяется формулой

Доказательство необходимости. Пусть изображение оригинала после аналитического продолжения оказалось регулярным в бесконечно удаленной

точке. Лорановское разложение в окрестности [учитывается, что при имеет вид

Пусть положительное число лежит в области сходимости этого ряда. Тогда ряд сходится; следовательно, сходится и ряд поэтому его члены ограничены, т. е. где С — некоторое положительное число, откуда следовательно, — целая функция экспоненциального типа. По доказанному

отсюда (так как оригинал вполне определяется своим изображением) заключаем, что

что и требовалось доказать.

Заметим, что всякая регулярная в бесконечности аналитическая функция, равная нулю в бесконечности, является изображением некоторой целой функции экспоненциальною типа.

Таким образом, с помощью преобразования Лапласа устанавливается взаимно однозначное соответствие между всеми целыми функциями экспоненциального типа и всеми аналитическими функииями, регулярными в бесконечно удаленной точке и равными в ней нулю.

Нахождение оригинала по его изображению (когда оно регулярно в бесконечности)

Предыдущие выкладки показывают, что если какая-нибудь аналитическая функция, регулярная в бесконечно удаленной точке и равная в ней нулю, и если ее лорановское разложение в окрестности есть

то

будет оригиналом, имеющим изображение

Изображения бесселевых функций

При [см. гл IV, § 2, формулу (4.30)] функция

будет целой функцией экспоненциального типа.

В самом деле, модуль коэффициента при в правой части равен

но [Это неравенство проверяется методом при оно верно; если оно верно для некоторого к, то переход к сводится к умножению левой и частей соответственно на ) но Следовательно, неравенство будет верно и для Таким образом, при всех комплексных

и, следовательно, целая функция экспоненциального типа.

В силу (5.27)

где — любое действительное неотрицательное число.

При отсюда находим:

но биномиальное разложение показывает, что

следовательно,

Покажем методом индукции, что

При это следует из (5.30). Далее, в сяду свойства 4 § 3

и, следовательно, при доказываемая формула также верна. Пусть теперь эта формула верна для всех неотрицательных целых индексов, меньших тогда

|см. гл. IV, § 3, формулу (4.27)], учитывая, что находим:

Таким образом, формула (5.31) доказана.

Рассмотрим теперь функцию

Эта функция регулярна в бесконечно удаленной точке и следовательно, она является изображением некоторой целой функции экспоненциального типа Так как

то в силу (5.28)

но [см. гл. IV, § 2, формулу (4.20)]

следовательно,

Таким образом,

и, в частности, при