§ 2. БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЛЮБЫМ ИНДЕКСОМ

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах

Чтобы объяснить «происхождение» бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:

(функции, удовлетворяющие этому уравнению, называются гармоническими).

Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам

то, согласно формуле (2.67), уравнение (4.16) принимает вид

Поставим задачу: найти все такие решения уравнения (4.17), которые могут быть представлены и виде

произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, т. е. найти все решения вида

( предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми).

Пусть есть решение упомянутого вида. Вставляя его в (4.17), получим:

откуда (после деления на

Записав в виде

найдем, что левая часть не вависит от правая не зависит от следовательно, общая величина этих выражрий есть некоторая постоянная а. Отсюда

В последием равенстве левая часть не зависит от правая не зависит от следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная Отсюда

Таким образом, должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка

из которых второе и третье суть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.

Обратно, если удовлетворяют уравнениям (4.18), то есть решение уравиеиия (4.17). В самом деле, вставляя в левую часть (4.17) и деля затем на получим:

Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (4.17), которые являются произведением трех функции, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть где суть любые решения уравнений (4.18) при любом выборе чисел

Первое из уравнений (4.18) в случае называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае обозначая независимое переменное буквой х (вместо ), а неизвестную функцию — буквой у (вместо найдем, что уравнение Бесселя имеет вид

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложений математики. Функция, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.

Бесселевы функции 1-го рода

Будем искать решение уравнения Бесселя (4.19) в виде ряда

где

(см. скан)

Следовательно, приходим к требованию

или к бесконечной системе уравнений

которая распадается на две системы:

Первая из них удовлетворится, если взять Во второй системе можно взять произвольно; тогда однозначно определяются (если не

является целым отрицательным числом). Взяв

найдем последовательно;

и в качестве решения уравнения (4.19) получим ряд

Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (4.19), сходится для всех положительных вначений , следовательно, является решением уравнения (4.19) в области (в случае целого в области Функция

называется бесселевой функцией 1-го рода с индексом Она является одним из решений уравнения Бесселя (4.19). В случае целого неотрицательного индекса учитывая (4.4),

и, в частности,

Общее решение уравнения Бесселя

В случае нецелого индекса функции являются решениями уравнения (4.19). Эти решения линейво независимы, так как начальные члевы рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличвые от нуля, и содержат разные степени х. Таким образом, в случае нецелого индекса общее решение ураввения Бесселя (4.19) есть

Если (целое отрицательное число), то функция, определяемая формулой (4.20) (учитывая, что равно нулю для принимает вид

или, после замены индекса суммирования на

откуда видно, что удовлетворяет вместе с

уравнению Бесселя

Но формула (4.21) в случае целого уже не дает общего решения уравнения (4.19).

Полагая

и дополняя это определение для (целое число) формулой

получим функцию удовлетворяющую уравнению Бесселя (4.19) и во всех случаях линейно независимую от (в случае где — целое, этот факт, как и само определение нуждается и обоснованиях, это мы оставляем в стороне). Функция называется бесселевой функцией 2-го рода с индексом Обшее решение уравнения Бесселя (4.19) можно ваписать во исех случаях в виде