Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
переменному х и замечая, что
получаем в точках дифференцируемости:
где
Ряд (1.13) с коэффициентами, определяемыми формулами (1.14), называется рядом Фурье для функции
с периодом 21.
Ряды Фурье для четных и нечетных функций с любым периодом
В случае четной функции с периодом
, следовательно, в ряде Фурье нет членов с синусами. Тогда получим (как в § 5) в точках дифференцируемости:
где
В случае
функции с периодом
все
, следовательно, в ряде Фурье нет свободного члена и членов с косинусами. Тогда получим (как в § 5) в точках дифференцируемости:
где
Пример 1. Написать разложение в ряд Фурье нечетной функции с периодом 1. Здесь
и на основании (1.16) получаем:
Промер 2. Разложить в ряд Фурье
Очевидно,
есть четная функция с периодом к. Здесь
и на основании (1.15) получаем:
где
Следовательно,
Отсюда при
получаем:
следовательно,
Комплексная форма ряда Фурье для функции с любым периодом
Пусть
— функция с периодом
, удовлетворяющая условиям, указанным в начале параграфа. Тогда подстановка
приводит нас к функции
с периодом
.
В силу § 3 имеем в точках дифференцируемости:
Переходя как в ряде, так и в формулах для коэффициентов к старому переменному
и замечая, что
получим в точках дифференцируемости
где
Правая чгсть формулы (1.17), где коэффициенты определяются равенствами (1.18), называется комплексной формой ряда Фурье для функции с периодом
.
Разложение в ряд Фурье функции, заданной на сегменте [-l, l]
Если на полуоткрытом интервале длины
, т.
на интервале вида
или
определена какая-нибудь функция, то она может быть (единственным способом) продолжена на всю числовую прямую так, что получится функция с периодом
. В самом деле, возьмем график ваданной функции на упомянутом полуоткрытом интервале и присоедииим к нему все его горизонтальные смещения на расстояния, кратные
(т. е. на расстояния
где
— произвольное целое число). Тогда получится график функции с периодом
, совпадающей с заданной функцией на том интервале, где она была определена.
Отсюда и из сказанного ранее о разложении периодических функций в ряды Фурье следует, что если
имеет на
не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то внутри этого сегмента в точках дифференцируемости имеем:
где
Разложение в ряд косинусов функцин, заданной на сегменте
Если на сегменте
определена какая-нибудь функция, то она может быть (единственным способом) продолжена на всю числовую прямую так, что получится четная
функция с периодом
. В самом деле, возьмем график заданной функции на этом сегменте, присоединим к нему фигуру, симметричную с ним относительно оси ординат. Затем к образовавшейся фигуре присоединим все ее горизонтальные смешения на расстояния, кратные
. Тогда получится график четной функции с периодом
, совпадающей с заданной функцией на сегменте
Отсюда и из сказанного ранее о разложении четных периодических функций в ряды Фурье следует, что если
имеет на
не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то внутри этого сегмента в точках дифференцируемости имеем разложение в ряд косинусов:
где
Разложение в ряд синусов функции, заданной на сегменте [0, l]
Если на интервале
определена какая-нибудь функция, то она может быть (единственным способом) продолжена на всю числовую прямую так, что получится нечетная функция с периодом
. В самом деле, возьмем график заданной функции на упомянутом интервале, присоединим к нему фигуру, симметричную с ним относительно начала координат, затем к образовавшейся фигуре присоединим все ее горизонтальные смешения на расстояния, кратные
, и, кроме того, добавим все точки с координатами
(где
— любое целое число). Тогда получится график нечетной функции с периодом
, совпадающей с заданной функцией на интервале
Отсюда и из сказанного ранее о разложении нечетных периодических функций в ряды Фурье следует, что если
имеет на
не более конечного числа точек разрыва
и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то внутри этого сегмента в точках дифференцируемости имеем разложение в ряд синусов:
где
На концах сегмента ряд (1.23) будет сходиться к нулю. Следовательно, если дополнительно потребовать, чтобы
обращалась в нуль на концах
мента
то разложение (1.23) будет иметь место еще на концах сегмента