§ 6. РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ С ЛЮБЫМ ПЕРИОДОМ

Пусть — функция с произвольным периодом есть полупериод). Полагая получим функцию с периодом Выберем а так, чтобы Тогда подстановка приводит нас к функции с периодом

Предположим, что имеет на сегменте не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте. В силу § 2 имеем в точках дифференцируемости:

где

Возвращаясь как в ряде, так и в формулах для коэффициентов, от нового переменного к старому

переменному х и замечая, что получаем в точках дифференцируемости:

где

Ряд (1.13) с коэффициентами, определяемыми формулами (1.14), называется рядом Фурье для функции с периодом 21.

Ряды Фурье для четных и нечетных функций с любым периодом

В случае четной функции с периодом , следовательно, в ряде Фурье нет членов с синусами. Тогда получим (как в § 5) в точках дифференцируемости:

где

В случае функции с периодом все , следовательно, в ряде Фурье нет свободного члена и членов с косинусами. Тогда получим (как в § 5) в точках дифференцируемости:

где

Пример 1. Написать разложение в ряд Фурье нечетной функции с периодом 1. Здесь и на основании (1.16) получаем:

Промер 2. Разложить в ряд Фурье Очевидно, есть четная функция с периодом к. Здесь и на основании (1.15) получаем:

где

Следовательно,

Отсюда при получаем:

следовательно,

Комплексная форма ряда Фурье для функции с любым периодом

Пусть — функция с периодом , удовлетворяющая условиям, указанным в начале параграфа. Тогда подстановка приводит нас к функции с периодом .

В силу § 3 имеем в точках дифференцируемости:

Переходя как в ряде, так и в формулах для коэффициентов к старому переменному и замечая, что получим в точках дифференцируемости

где

Правая чгсть формулы (1.17), где коэффициенты определяются равенствами (1.18), называется комплексной формой ряда Фурье для функции с периодом .

Разложение в ряд Фурье функции, заданной на сегменте [-l, l]

Если на полуоткрытом интервале длины , т. на интервале вида или определена какая-нибудь функция, то она может быть (единственным способом) продолжена на всю числовую прямую так, что получится функция с периодом . В самом деле, возьмем график ваданной функции на упомянутом полуоткрытом интервале и присоедииим к нему все его горизонтальные смещения на расстояния, кратные (т. е. на расстояния где — произвольное целое число). Тогда получится график функции с периодом , совпадающей с заданной функцией на том интервале, где она была определена.

Отсюда и из сказанного ранее о разложении периодических функций в ряды Фурье следует, что если имеет на не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то внутри этого сегмента в точках дифференцируемости имеем:

где

Разложение в ряд косинусов функцин, заданной на сегменте

Если на сегменте определена какая-нибудь функция, то она может быть (единственным способом) продолжена на всю числовую прямую так, что получится четная

функция с периодом . В самом деле, возьмем график заданной функции на этом сегменте, присоединим к нему фигуру, симметричную с ним относительно оси ординат. Затем к образовавшейся фигуре присоединим все ее горизонтальные смешения на расстояния, кратные . Тогда получится график четной функции с периодом , совпадающей с заданной функцией на сегменте

Отсюда и из сказанного ранее о разложении четных периодических функций в ряды Фурье следует, что если имеет на не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то внутри этого сегмента в точках дифференцируемости имеем разложение в ряд косинусов:

где

Разложение в ряд синусов функции, заданной на сегменте [0, l]

Если на интервале определена какая-нибудь функция, то она может быть (единственным способом) продолжена на всю числовую прямую так, что получится нечетная функция с периодом . В самом деле, возьмем график заданной функции на упомянутом интервале, присоединим к нему фигуру, симметричную с ним относительно начала координат, затем к образовавшейся фигуре присоединим все ее горизонтальные смешения на расстояния, кратные , и, кроме того, добавим все точки с координатами (где — любое целое число). Тогда получится график нечетной функции с периодом , совпадающей с заданной функцией на интервале

Отсюда и из сказанного ранее о разложении нечетных периодических функций в ряды Фурье следует, что если имеет на не более конечного числа точек разрыва

и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то внутри этого сегмента в точках дифференцируемости имеем разложение в ряд синусов:

где

На концах сегмента ряд (1.23) будет сходиться к нулю. Следовательно, если дополнительно потребовать, чтобы обращалась в нуль на концах мента то разложение (1.23) будет иметь место еще на концах сегмента