§ 8. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

Отметим сперва некоторые вспомогательные факты.

Вычисление интеграла ...

Преобразуя двойной интеграл от по квадрату двумя способами в двукратные интегралы и сравнивая результаты, получим:

Элементарное интегрирование дает:

Следовательно,

Так как модуль второго слагаемого левой части меньше модуль второго слагаемого правой части меньше то в пределе при получим:

Поскольку четная функция, из последней формулы следует:

Лемма Римана для бесконечного промежутка

Если имеет на каждом конечном интервале не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на то

Доказательство. Возьмем с и настолько близ кими к чтобы сумма интегралов от по интервалам была меньше Так как в силу леммы Римана (§ 2) при то при любом найдется такое что при Тогда при будем иметь:

следовательно,

Достаточное условие представимости функции интегралом Фурье

Пусть -функция, определенная на всей числовой прямой, имеющая на каждом конечном сегменте не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируемая на Последнее означает, что несобственный интеграл

есть конечная величина (интеграл сходится).

Согласно сказанному в § 6 в каждой точке дифференцируемости функции имеем (при )

где коэффициенты определяются формулами (1.20). Следовательно,

Полагая тогда получим:

При очевидно,

Естественно предположить, что при

(но это не очевидно!). Если это так, то полученное для выражение даст в пределе:

Покажем, что это действительно так.

Положим

Так как сходится, то можно изменить последовательность интегрирования и мы получим:

(последний интеграл получен из предыдущего заменой х на Если то при , следовательно, функция после надлежащего доопределения в точке становится непрерывной в окрестности нуля и будет абсолютно интегрируема на ибо при достаточно малом она непрерывна на интервале и вне его Следовательно, в силу леммы Римана для бесконечного промежутка имеем:

В общем случае [когда значенне может быть любым] положим:

Тогда

По доказанному первое слагаемое правой части стремится к нулю при ибо Второе слагаемое правой части равно

(интеграл в средней части получен из предшествующего заменой на Таким образом, в точках дифференцируемости функции имеем:

Заменяя на на доказанное предложение можно формулировать так:

Теорема. Если имеет на каждом конечном интервале не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на то в каждой точке х, в которой дифференцируема, имеем:

Правая часть формулы (1.35) называется двойным интегралом Фурье функции

Так как , то (после внесения множителя внутренний интеграл в формуле (1.35) можно преобразовать так:

где

Тогда (1.35) принимает вид

Выражение, стоящее в правой части формулы (1.37), называется интегралом Фурье для функции Таким образом, функция представляется своим интегралом Фурье во всех точках дифференцируемости. Заметим, что это достаточное условие представимости функции своим интегралом Фурье не является необходимым, представимость интегралом Фурье будет иметь место и при более общих условиях.

Формула (1.37) показывает, что интеграл Фурье можно рассматривать как континуальный аналог ряда Фурье: вместо суммирования по индексу пробегающему целые вначения, мы имеем интегрирование по непрерывно изменяющемуся переменному а; вместо коэффициентов Фурье, зависящих от целого индекса мы имеем функции от непрерывно изменяющегося переменного а, определяемые формулами (1.36).