§ 5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Дугу кривой называют гладкой, еслв функции, фигурирующие в ее параметрических уравнениях, непрерывно дифференцируемы. Дугу называют кусочно-гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких дуг.

Пусть непрерывная функция на кусочногладкой дуге (рис. 3). Разобьем дугу на части с помощью точек деления На каждой части возьмем какую-нибудь точку значение рассматриваемой функции в этой точке умножнм на и составим сумму таких произведений

Рис. 3.

Если наибольшая длин частей дуги стремится к нулю, то эта сумма стремится к определенному пределу, который называется криволинейным интегралом от вдоль дуги по переменному х и обозначается знаком Аналогично определяются криволинейные интегралы по переменным Таким образом,

где — непрерывные функции на дуге

Далее вводим понятие комбинироианного криволинейного интеграла

Из определения криволинейного интеграла непосредственно следует, что при перемене направления дуги интеграл лишь меняет свой знак

Рис. 4

Далее, если дугу разбить на части, то интеграл вдоль всей дуги равен сумме интегралов вдоль ее частей, например (рис. 4),

Отсюда следует, что интеграл вдоль замкнутой кривой не вависнт от выбора начальной точки, а зависит лишь от направления обхода кривой. В самом деле (рис. 5),

откуда (так как правые части этих равенств одинаковы)

Рис. 5.

Из определения криволинейного интеграла сразу следует, что постоянные множители выносятся за знак интеграла, суммы равен сумме интегралов. Из (2.18) видно, что

если дуга расположена в плоскости

Аналогично из (2.19) и (2.20) следует, что когда расположена и плоскости когда расположена в плоскости

Преобразование криволинейного иитеграла в простой интеграл

Пусть даны параметрвческие уравнения дуги

(мы предполагаем, что все три функции непрерывно дифференцируемы). По теореме Лагранжа (рис. 6)

где лежит между и

Рис. 6

Пусть — точка кривой, соответствующая значению параметра — точка кривой, соответствующая вначению параметра тогда

откуда и пределе при стремлении к нулю наибольшей из разностей

Заметим, что выкладки не только дают выражение криволинейиого интеграла через простой, но и доказывают существование криволинейного интеграла [в случае непрерывно дифференцируемых ], если считать существование простого интеграла от непрерывной функции известный.

Аналогичные формулы имеют место для .

Мы видим, что для преобразоиакия криволинейного интеграла в простой интеграл следует взять параметрические уравнения пути интегрирования, затем всюду под знаком криволинейного интеграла заменить их выражениями через параметр и после этого рассматривать интеграл как простой по параметру, взятый в пределах изменения параметра.

Если, например, имеем дугу

то (беря х за параметр) получим:

Условие независимости криволинейного интеграла от формы пути

Будем говорить, что криволинейный интеграл

не зависит от формы пути в некоторой области (в которой предполагаются непрерывными), если этот интеграл, клоль всяких двух кусочно-гладких дуг (лежащих в рассматриваемой области) с общим началом и общим концом, имеет одинаковую величину. В этом случае при обозначении интеграла достаточно лишь указывать начальную и конечную точку пути (не называя самого путы) и употреблять запись (где выписаны координаты точек )

Если подынтегральное выражение в (2.24) есть полный дифференциал некоторой функции и , то для какой иибудь гладкой дуги с параметрическими уравнениями

получим (учитывая свойство инвариантности дифференциального обозначения):

То же будет для кусочно-гладкой дуги и следовательно, криволинейный интеграл не вависит от формы пути.

Обратно, предположим, что криволинейный интеграл (2.24) не зависит от формы пути и положим

Тогда

Беря в последнем интеграле за путь интегрирования прямолинейный отрезок и преобразуя кризолинейный интеграл в простой, получим:

Так как

при , то следрвательно, существует и

Аналогично найдем, что существуют причем

Отсюда видно, что

т. е. подынтегральное выражение в (2.24) есть полный дифференциал.

Итак, для независимости криволинейного интеграла от формы пути (в некоторой области) необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение было полним дифференциалом некоторой функции (в упомянутой области).

Рис. 7.

Рис. 8.

Заметим, что независимость криволинейного интеграла (2.24) от формы пути в некоторой области равносильна равенству нулю этою интрала вдоль всякого замкнутого пути, лежащего в рассматрлваемой области. В самом деле, пусть имеем независимость от формы -нибудь замкнутый путь; тогда (рис. 7)

Обратно, пусть имеем равенство нулю интегралов вдоль замкнутых путей, и пусть — два пути с общим началом и общим концом; тогда (рис. 8)

Условия, при которых выражение есть полный дифференциал

Если это выражение (предполагается, что имеют непрерывные частные производные первого порядка) полным дифференциал некоторой функции и

(в рассматрвваемой области), то

следовательно,

откуда, учитывая независимость частных производных от последовательности дифференцирования, получаем:

Рис. 9.

Обратно, предположим, что равенства (2.25) выполнены (в рассматриваемой области). Пусть фиксированная точка (рис. 9), — переменная точка, — трехзвенная ломаная, стороны которой последовательно параллельны осям Положим

Применяя правило преобразования криволинейного интеграла и простой, находим:

откуда с помощью правила дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом и правила дифференцирования под знаком интеграла с учетом (2.25) получаем:

и, следовательно,

Итак, того чтобы выражение было полным дифференциалом (в рассматриваемой области), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

(в рассматриваемой области).

В доказательстве теоремы о том, что если выполнены условия (2.25), то выражение есть полный дифференциал некоторой функции, молчаливо преднола) алось, что в рассматриваемой

области найдется такая точка что для любой точки М рассматриваемой области трехзвениая ломаная лежит в этой же области. С помощью дополнительных рассуждений можно показать, что теорема останется верной для всякой области, в которой любые два пут с общим началом и общим концом могут быть непрерывно деформированы один в другой, не выходя из области (такие области называются односвязными).