Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫДугу кривой называют гладкой, еслв функции, фигурирующие в ее параметрических уравнениях, непрерывно дифференцируемы. Дугу называют кусочно-гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких дуг. Пусть
Рис. 3. Если наибольшая
где Далее вводим понятие комбинироианного криволинейного интеграла
Из определения криволинейного интеграла непосредственно следует, что при перемене направления дуги интеграл лишь меняет свой знак
Рис. 4 Далее, если дугу разбить на части, то интеграл вдоль всей дуги равен сумме интегралов вдоль ее частей, например (рис. 4),
Отсюда следует, что интеграл вдоль замкнутой кривой не вависнт от выбора начальной точки, а зависит лишь от направления обхода кривой. В самом деле (рис. 5),
откуда (так как правые части этих равенств одинаковы)
Рис. 5. Из определения криволинейного интеграла сразу следует, что постоянные множители выносятся за знак интеграла,
Аналогично из (2.19) и (2.20) следует, что Преобразование криволинейного иитеграла в простой интегралПусть даны параметрвческие уравнения дуги
(мы предполагаем, что все три функции непрерывно дифференцируемы). По теореме Лагранжа (рис. 6)
где
Рис. 6 Пусть
откуда и пределе при стремлении к нулю наибольшей из разностей
Заметим, что Аналогичные формулы имеют место для Мы видим, что для преобразоиакия криволинейного интеграла в простой интеграл следует взять параметрические уравнения пути интегрирования, затем всюду под знаком криволинейного интеграла заменить Если, например, имеем дугу
то (беря х за параметр) получим:
Условие независимости криволинейного интеграла от формы пути Будем говорить, что криволинейный интеграл
не зависит от формы пути в некоторой области (в которой Если подынтегральное выражение в (2.24) есть полный дифференциал некоторой функции и
получим (учитывая свойство инвариантности дифференциального обозначения):
То же будет для кусочно-гладкой дуги Обратно, предположим, что криволинейный интеграл (2.24) не зависит от формы пути и положим
Тогда
Беря в последнем интеграле за путь интегрирования прямолинейный отрезок и преобразуя кризолинейный интеграл в простой, получим:
Так как
при Аналогично найдем, что существуют Отсюда видно, что
т. е. подынтегральное выражение в (2.24) есть полный дифференциал. Итак, для независимости криволинейного интеграла от формы пути (в некоторой области) необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение было полним дифференциалом некоторой функции (в упомянутой области).
Рис. 7.
Рис. 8. Заметим, что независимость криволинейного интеграла (2.24) от формы пути в некоторой области равносильна равенству нулю этою интрала вдоль всякого замкнутого пути, лежащего в рассматрлваемой области. В самом деле, пусть имеем независимость от формы
Обратно, пусть имеем равенство нулю интегралов вдоль замкнутых путей, и пусть
Условия, при которых выражение Если это выражение (предполагается, что (в рассматрвваемой области), то
следовательно,
откуда, учитывая независимость частных производных от последовательности дифференцирования, получаем:
Рис. 9. Обратно, предположим, что равенства (2.25) выполнены (в рассматриваемой области). Пусть
Применяя правило преобразования криволинейного интеграла и простой, находим:
откуда с помощью правила дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом и правила дифференцирования под знаком интеграла с учетом (2.25) получаем:
и, следовательно,
Итак,
(в рассматриваемой области). В доказательстве теоремы о том, что если выполнены условия (2.25), то выражение области найдется такая точка
|
1 |
Оглавление
|