§ 10. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ

Преобразование Фурье и его обращение

Определение. Пусть — комплекснозначная функция на непрерывная всюду, за исключением, быть может, изолированных точек, и абсолютно интегрируемая на

Преобразованием Фурье функции называется функция

Преобразование Фурье функции называют еще спектральной характеристикой функции Легко видеть, что непрерывна на и

Теорема обращения преобразовании Фурье. Бели удовлетворяет упомянутым в предыдущем определении условиям, то в каждой точке в которой дифференцируема, имеет место формула обращения (обратное преобразование Фурье)

где

В этом непосредственный смысл формулы (1.39"), доказанной в § 10 главы I.

Преобразование Меллина и его обращение

Пусть — комплекснозначная функция, непрерывная на всюду, за исключением, быть может, изолированных точек. Если (здесь — действительное число) сходится при то он сходится при всяком лежащем между (это следует из того, что если то при при Отсюда легко заключить, что либо упомянутый интеграл при всех расходится, либо найдутся такие упомянутый интеграл сходится, а при и при расходится. В последнем случае (если интеграл Меллина имеет полосу абсолютной сходимости причем в каждой полосе его сходимость — равномерная. Из теоремы § 1 вытекает, что он изображает аналитическую функцию комплексного переменного в полосе

Определение. Пусть — комплекснозначная функция на непрерывная, за исключением, быть может, изолированных точек, и такая, что соответствующий интеграл Меллина имеет полосу абсолютной сходимости Преобразованием Меллина функции навивается функция

аналитическая в полосе

Замечание. Если преобразование Меллина функции есть то при преобразованием Фурье функции будет

В самом деле, с помощью подстановки находим.

Тедрема обращения преобразования Меллина. Если удовлетворяет отмеченным в предыдущем определении условиям, то в каждой точке х, в которой дифференцируема, имеет место формула обращения (обратное преобразование Меллина)

где

причем с — любое действительное число, удовлетворяющее неравенствам

Доказательство. Если дифференцируема в точке х, то после подстановки функция будет дифференцируема в соответствующей точке но тогда в силу предыдущего замечания и теоремы обращения преобразования Фурье найдем в упомянутой точке

следовательно, в рассматриваемой точке х

что и требовалось доказать.

Обращение преобразования Лапласа

Замечание. Если преобразование Лапласа функции есть т. е.

то преобразованием Фурье функции будет если а — действительное число, большее показателя роста

В самом деле,

Теорема обращения преобразования Лапласа. Если оригинал и — его изображение, то в каждой точке в которой дифференцируема, имеет место формула обращения (обратное преобразование Лапласа)

где

причем а — любое действительное число, большее показателя роста

Доказательство. Если дифференцируема в точке то тоже; следовательно, в силу предыдущего замечания и теоремы обращения преобразования Фурье найдем в рассматриваемой точке

что и требовалось доказать.