ГЛАВА V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

§ 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА

Замечания о несобственных интегралах

Если — комплекснозначная функция, непрерывная на сегменте за исключением точки а (в которой она может быть не определена и вблизи которой может быть не ограничена), то по определению если этот предел существует и конечен. Аналогично, если непрерывна на за исключением точки то по определению , если этот предел сушествует и конечен.

Если непрерывна на за исключением точек то по определению где если оба слагаемых в правой части имеют смысл (очевидно, это определение не зависит от выбора числа с).

Если непрерывна на за исключением конечного числа точек си где то по определению если все слагаемые правой части имеют смысл.

Пусть теперь непрерывна на за исключением, быть может, изолированных точек. Тогда по определению если все интегралы где , существуют и еслн существует и конечен, В этом случае несобственный интеграл называется сходящимся.

Если интеграл сходится, то несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся. Абсолютно сходящийся несобственный интеграл всегда сходится. Очевидно, абсолютно сходится, если за исключением, быть может, изолированных точек), где такая действительная неотрицательная функция, что сходится. В этом случае говорят, что несобственный интеграл мажорируется несобственным интегралом

Пусть при каждом значении параметра некоторой области является непрерывной функцией от на

за исключением, быть может, изолированных точек. Если при каждом значении в интеграл сходится и при стремится к своему пределу равномерно относительно в то несобственный интеграл зависящий от параметра называется равномерно сходящимся в области Достаточным условием равномерной сходимости интеграла, зависящего от параметра, является мажорируемость его сходящимся интегралом некоторой неотрицательной функции. Если — область на плоскости комплексного переменного то будем называть равномерно сходящимся внутри области если он равномерно сходится на каждой ограниченной замкнутой области лежащей в (см. гл. III, § 13).

Аналитическая зависимость от параметра

Лемма. Пусть — непрерывная комплекснозначная функция двух переменных действительного переменного на сегменте и комплексного переменного в области Пусть эта функция при каждом значении на является аналитической функцией от в области Тогда обладает такими же свойствами и функция

будет аналитической функцией от в причем

Доказательство. Тот факт, что есть вепрерыввая фувкцпя от проверяется так: при имеем равномерно внутри (ибо ) равномерно непрерывна при

на на , где — какая-либо ограниченная замкнутая область в следовательно, в силу теоремы § 13 главы III имеем равномерно внутри откуда видно, что при будем иметь

Рис. 65.

Далее, имеем при (рис. 65), причем сходимость — равномерная внутри области Действительно,

но равномерно непрерывна при на , где — какая-либо ограниченная замкнутая область в поэтому для всякого найдется такое что если то при

следовательно, при и любом на будем иметь:

что и доказывает равномерную сходимость внутри области

Наконец, в силу теоремы § 13 главы будет аналитической функцией от в области причем

что и требовалось доказать.

Теорема. Пусть - непрерывная комплекснозначиая функция двух переменных действительного переменного на кроме, быть может, изолированных точек, и комплексного переменного в области Пусть, кроме того, эта функция при каждом упомянутом звачеиии будет аналитической от в области Предположим еще, что несобственный интеграл на каждой ограничеввой замкнутой области , лежащей в мажорируется некоторым сходящимся интегралом от действительной неотрицательной фувкции. Тогда

будет аналитической функцией от в области причем

Доказательство. Если сегмент лежащий на не содержит упоминавшихся в тексте теоремы изолированных точек, то в силу леммы будет аналитической функцией от в производная которой равна Если с (или стремится к одной из названных изолированных точек то в силу условий теоремы или к с равномерво внутри поэтому в силу теоремы § 13 главы III производная от или будет равна или После этого заключаем, что при любом производная от будет равна

Наконец, в силу условий теоремы равномерно внутри следовательно, в силу теоремы § 13 главы III производная от будет равна что и требовалось доказать.