§ 7. ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Ступенчатые функции

Пусть — произвольная последовательность комплексных чисел. Функцию на опре деляемую равенствами

назовем ступенчатой функцией, порожденной последова тельностью

Имеем

Для действительного найдем и пределе при

следовательно, несобственный интеграл и леиой части и ряд и правой части либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Из (5.20) непосредственно вытекает:

Теорема. Чтобы ступенчатая функция, порожденная последовательностью была оригиналом, необходимо и достаточно, чтобы степенной ряд с коэффициентами имел отличный от нуля радиус сходимости [иначе говоря, чтобы числа были ограничены в совокупности].

Пусть — ступенчатый оригинал, порождаемый последовательностью Формула (5.20) показывает, что если степенной ряд сходится при

то аналитична при и тогда

Полагая есть изображение ступенчатой функции порождаемой последовательностью найдем

Обратно, всякая функция вида где аналитична в окрестности нуля, является изображением ступенчатого оригинала, порождаемого коэффициентами разложения по степеням

Примеры:

Замечание. Если вместо ступенчатых функций рассматривать на функции более общего вида, определяемые

равенствами

где — какая-нибудь фиксированная функция на [0,1), которая на этом интервале имеет не более конечного числа точек разрыва, не исчезает тождественно и абсолютно интегрируема (ступенчатые функции получаются при то формула (6.20) останется в силе при замене на а следовательно останется в силе вытекающая из этой формулы теорема (необходимое и достаточное условие, чтобы была оригиналом). Для изображения оригинала формула (6.21) остается в силе, если заменить на

Опережение функций

Если определена на то функцию рассматриваемую на назовем опережением функции

Непосредственно иидно, что всякое опережение оригинала является оригиналом с тем же показателем роста.

Если -оригинал, то

Если — ступенчатый оригинал, где аналитична в окрестности нуля, — число натуральное, то (5.22) дает:

но

следовательно

Линейные уравнения в конечных разностях с постоянными коэффициентами

Пусть — какая-либо функция на Положим Методом индукции (с использованием соотношения легко показать, что

(где )

Рассмотрим две задачи, в которых обозначает какую-нибудь заданную ступенчатую функцию на — какие-нибудь заданные комплексные числа.

Задана 1. Найти ступенчатую функцию на удовлетворяющую уравнению

и начальным условиям

Задача 2. Найти ступенчатую функцию на удовлетворяющую уравнению

и начальным условиям

Из (5.24) видно, что задача равносильна задаче I (с надлежащими а из (5.25) видно, что задача 1 равносильна задаче 2 (с надлежащими Задача I, очевидно, всегда имеет единственное решение [дело сводится к рекуррентной системе уравнений для определения членов последовательности, порождающих искомую ступенчатую функцию следовательно и задача 2 всегда имеет единственное решение.

Теорема. Если — ступенчатый оригинал, то решение задачи 1 (и, следовательно, решение задачи 2) также будет ступенчатым оригиналом.

Доказательство. Пусть По условию где . Не уменьшая общности, положим Пусть А — наибольшее из чисел Пусть больше каждого из чисел тогда для всех Действительно, для это следует из определения для это верно, если это верно для всех ибо из уравнения, которому удовлетворяет находим (беря ):

Таким образом, индукция проведена и теорема доказана.

Приложение преобразования Лапласа к решению линейных ураннений в конечных разностях с постоянными коэффициентами

Рассмотрим задачу 1 в случае, когда есть ступен чатый оригинал. Тогда, по доказанному, решение у (0 также будет ступенчатым оригиналом. Пусть

где

— известная аналитическая функция в окрестности нуля; — искомая аналитическая функция в окрестности нуля.

Переходя в уравнении задачи 1 к изображениям и учитывая при этом начальные условия и формулу (5.28), получим

(кликните для просмотра скана)

Функция порождается последовательностью

Пример 2.

Здесь

Функция порождается последовательностью

Замечание. Если , то

Если , то

откуда видно, что если то

Учитывая еще, что всякий полином степени можно разложить по любым иолиномам степеней и что исвкую регулярную в нуле рациональную функцию в результате выделения целой части и разложения остаточной правильной дроби на простейшие элементы можно представить в виде комбинацйи функций вида

приходим к предложение для того, чтобы фигурирующая в формуле (5.21), была регулярной в иуле рациональной функцией, необходимо и достаточно, чтобы явилась линейной комбинацией функций вида

Из снизанного в начале настоящего замечания легко усмотреть, как, зная такую найти выражение соответствующей , обратно, вная рациональную и регулярную в нуле найти выражение соответствующей

Формула (5.26) показывает, что если рациональна, то тоже рациональна, поэтому, если правая часть рассмотренного выше уравнения в конечных разностях является линейной комбинацией функций вида то и решения этого уравнения при любых начальных условиях обладают этим свойством.