§ 5. ОРИГИНАЛЫ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ ИЗОБРАЖЕНИЯМИ

Изображения некоторых элементарных функций

1. Изображения степенных и показательных функций. При степенная функция является оригиналом с нулевым показателем роста, причем

что при положительных значениях равно (после замены на

Но как изображение Г, так и правая часть последнего равенства аналитичны в полуплоскости следовательно, совпадая в положительных точках, они (в силу теоремы единственности, см. гл. III, § 14) совпадают на всей полуплоскости (заметим, что степенные функции комплексного переменного многозначны при не целых , но, рассматривая их на полуплоскости мы всякий раз

имеем в виду те их ветви, которые происходят от ветвей совпадающих для положительных Итак,

Так, при

и, в частности, при

Из (5.8) по правилу смещения изображений (§ 3, свойство 11) находим при любом целом неотрицательном и любом комплексном X

и, в частности, при

2. Изображения тригонометрических и гиперболических функций. Имеем в силу (5.11):

Из (5.12) и (5.13) по правилу подобия (§ 3, свойство 3) находим:

откуда по правилу смещения изображений (§ 3, свойство 11)

Необходимое и достаточное условие рациональности изображения

Теорема. Для того чтобы изображение было рациональной функцией, необходимо и достаточно, чтобы оригинал являлся линейной комбинацией функций вида ( — целое неотрицательное, X — комплексное).

Доказательство достаточности. Если оригинал есть линейная комбинация функций то в силу (5.10) изображение будет линейной комбинацией функций — , следовательно, будет рациональной функцией.

Доказательство необходимости. Пусть изображение рационально. Так как по теореме § 2 при то будет правильной рациональной дробью. Пусть — ее полюсы, — их кратности. Тогда, разлагая на простейшие элементы, получим:

где — некоторые комплексные числа. Но из (5.10) видно, что

Отсюда

а так как оригинал вполне определяется своим изображением, то

и, следовательно, является линейной комбинацией функций вида что и требовалось доказать.

Заметим, что всякая правильная рациональная дробь является изображением некоторого оригинала. Таким образом, с помощью преобразования Лапласа устанавливается взаимно однозначное соответствие между всеми функциями, являющимися линейными комбинациями выражений и всемв праввльными рациональными дробями.

Заметим, что класс функций, являющихся линейными комбинациями выражений вида обладает следующими свойствами: операции линейного комбинирования, умножения на аргумент, умножения на показательную функцию, линейного преобразования аргумента, дифференцирования и интегрирования, примененные к функциям этого класса, приводят снова к функциям этого класса.

Нахождение оригинала по заданному изображению (когда оно рационально)

Предыдущие выкладки показывают, что если — какая-нибудь правильная рациональная дробь, разложение которой на простейшие дроби есть

то

будет оригиналом, имеющим изображение

В частности, если все полюсы — простые, то

и для оригинала, имеющего изображение получим формулу

Таким образом, нахождение оригинала по заданному изображению (когда оно рационально) сводится к разложению правильной рациональной дроби на простейшие дроби.

Пример. Найти оригинал имеющий изображение

Разложение на простейшие дроби дает:

следовательно,