Отображение, конформное в данной точке

Теорема. Чтобы дифференцируемое и невырождающееся в данной точке отображение имело в этой точке постоянную индикатрису растяжений, необходимо и достаточно,

Доказательство. Если то

при Умножая это равенство на любое и полагая получим тождество

или

следовательно, все коэффициенты этой квадратичной формы должны быть равны нулю, откуда или

Умножая второе равенство на и складывая с первым, получим:

Следовательно, либо либо

Обратно, пусть тогда

при

Следовательно,

что и требовалось доказать.

Замечание. Если индикатриса растяжений постоянна, то индикатриса вращений имеет вид или (к постоянно; Обратно, если индикатриса вращений имеет вид ( постоянно), то индикатриса растяжений постоянна. В самом деле, если то по предыдущей теореме имеем и поэтому

следовательно, или где Обратно, если или где то, сравнивая действительные и мнимые части в равенстве

и рассматривая получающиеся соотношения как линейную однородную систему относительно (которые одновременно не обращаются в нуль), заключаем, что ее определитель равен нулю. Это значит, что где

и таким образом значениями непрерывной функции могут быть лишь корни полинома второй степени следовательно, тождественно равно одному из этих корней.

Определение. Дифференцируемое и невырождающееся в данной точке отображение называется конформным в данной точке, если в этой точке индикатриса растяжений построена (эта постоянная называется коэффициентом искажения масштаба в данной точке).

В симу предыдущего замечания индикатриса вращения конформного в данной точке отображения либо имеет вид (тогда отображение называется конформным рода в

рассматриваемой точке), либо имеет вид (тогда отображение называется конформным рода в рассматриваемой точке).

Остановимся на геометрическом смысле введенных понятий. Пусть отображение конформное в точке переводит точку М в точку Тогда (учитывая, что предельный переход в (3.64) равномерен относительно С) при (рис. 52), где — коэффициент искажения масштаба в точке М.

Рис. 52.

Рис. 53.

Пусть — какие-нибудь «направления», выходящие из М под углами к действительной оси. Им соответствуют «направления» выходящие из под некоторыми углами и к действительной оси. В случае получаем (полагая

поэтому (при надлежащем выборе

или (рис. 53)

Это показывает, что при конформном отображении рода углы между «направлениями» сохраняют величину и ориентацию. В случае получим (полагая

поэтому (при надлежащем выборе

или (рис. 54)

показывает, что при конформном отображении 2-го рода между «направлениями» сохраняют величину, но меняют ориентацию.

Рис. 54.

Рис. 55.

Наконец (учитывая, что предельный переход равномерен относительно С), находим, что (рис. 55)

верхний знак — для конформного отображения 1-го рода, нижний — для конформного отображения 2-го рода).

Рис. 56.

В частности, если непрерывна в некоторой окрестности точки то в случае конформного отображения 1-го рода рода) в точке М две дуги, выходящие из М (рис. 56) и пересекающиеся в этой точке под углом переходят в две дуги, выходящие из и пересекающиеся в этой точке под углами

Заметим теперь, что условия

являются условиями Коши — Римана соответственно для и что при условие невырождения отображения состоит в том, чтобы А и С одновременно не обращались в нуль, так как

Поэтому из предыдущей теоремы и результатов § 6 непосредственно вытекает

Теорема. Для того чтобы отображение было конформным 1-го рода (2-го рода) в данной точке, необходимо и достаточно, чтобы была дифференцируема в этой точке и имела в ней производную, отличную от нуля.

Пусть дифференцируема в данной точке и в этой точке тогда отображение будет конформным 1-го рода в точке причем

Таким образом выявляются:

1) геометрический смысл модуля произвол ной:

Если в данной точке , то есть коэффициент искажения масштаба в этой точке отображения

2) геометрический смысл аргумента производной:

Если в данной точке , то есть угол, на который поворачиваются все «направления», выходящие из этой точки при отображении

В дальнейшем конформное отображение рода будем просто называть конформным.

Примечание. Если рассматривать отображение области полной плоскости комплексного переменного в полную плоскость комплексного переменного, переводящее точку в точку то данное ранее определение конформности отображения в точке теряет смысл, если хотя бы одна из точек есть Если конечно, то отображение да называется конформным в точке когда отображение конформно в точке Если то отображение называется конформным в точке когда отображение конформно в точке 0. Пользуясь отображением можно говорить о «направлениях», выходящих из точки при помощи соответствующих «направлений», выходящих из точки Заметим еще, что с помощью стереографической проекции (см. § 16) точку можно сделать равноправной с конечными точками.