§ 5. НЕКОТОРЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Логарифмы комплексных чисел

Число называется логарифмом комплексного числа (по основанию ), если Всякое вначеиие логарифма числа обозначим знаком Пусть (нуль,

очевидно, не имеет логарифма, так как показательная функция в нуль не обращается). Пользуясь показательной формой данного числа модуль, аргумент) и алгебраической формой искомого числа получим требование

откуда — целое число) и, следовательно,

Обратно, при всяком целом последнее выражение, как непосредственно видно, есть вначение логарифма числа Таким образом, где имеет бесконечно много значений, причем все они получаются по формуле

произвольное целое число) или

Отсюда видно, что все значения получаются из какого-нибудь одного по формуле

( — произвольное целое число).

Легко видеть, что обычные правила логарифмирования остаются в силе.

Степени с комплексными основаниями и комплексными показателями

Пусть А и В — любые комплексные числа (где ). Полагают по определению

Отсюда видно, что эта степень, вообще говоря, имеет бесконечно много значений (так как имеет бесконечно много значений). В случае, когда В есть действительное целое число, значения показателя правой части отличается между собой на кратные от , следовательно, А имеет и этом случае одно значение.

Пример.

( любое целое).

Обратные тригонометрические функции

Пусть — какое-нибудь комплексное числа По определению есть любое комплексное число такое, что Следовательно, приходим к уравнению

или

решая которое, получим:

Таким образом, все значения арксинуса даются формулой

Многозначность этой функции происходит от двух причин: двузначности квадратного корня, бесконечноэиачиости логарифма. Выражение (3.22) имеет смысл для всех вначений выражение, стоящее под знаком логарифма, всегда отлично от нуля.

Далее, есть любое комплексное число такое, что следовательно, получаем уравнение

или

откуда

Таким образом, все значения арккосинуса даются формулой

Многозначность этой функции происходит от двух причин: двузначности квадратного корня и бесконечнозначности логарифма. Равенство (3.23) имеет смысл для всех значений так как выражение, стоящее под знаком логарифма, имеет смысл для всех значений и так как это выражение всегда отлично от нуля.

Рассмотрим еще определяемый как любое такое число что Имеем:

или

следовательно,

Таким образом,

Многозначность этой функции происходит от многозначности логарифма. Выражение (3.24) теряет смысл при

Обратные гиперболические функции

По определению есть любое также комплексное число что Имеем:

или

откуда

Таким образом,

Далее, есть любое такое что Тогда

следовательно,

Затем, есть по определению любое такое что Тогда

Следовательно,

Это выражение теряет смысл при

В теории аналитических функций многозначные функции целе сообразно рассматривать как однозначные на некоторых многолистных поверхностях (так называемых римаиовмх поверхностях). Не имея возможности привести здесь какое бы то ни было общее определение этих поверхностей, ограничимся примерами нарядного построения этих поверхностей для простейших многозначных функций

Рассмотрим экземпляров плоскости комплексного переменного (которые занумеруем числами разрезанных но положительной части действительной оси, и склеим их следующим образом: нижний край разреза первого экземпляра склеивается с верхним краем разреза второго экземпляра, нижний край разреза второго экземпляра — с верхним краем разреза третьего экземпляра нижний край разреза экземпляра — с верхним краем разреза экземпляра, наконец, нижний край разреза экземпляра — с верхним краем разреза первого экземпляра (последнее склеивание невозможно сделать без пересечений). В результате

получится -листная поверхность с точкой разветвления над . Описывая простой замкнутый контур, охватывающий точку после каждого обхода будем попадать на следующий лист и после «входов придем в первоначальное положение, -значную функцию на обычной плоскости комплексного переменного можно рассматривать как однозначную на построенной -листной поверхности. Это будет риманова поверхность для

Рассмотрим теперь бесконечное множество экземпляров плоскости комплексного переменного (пронумерованных с помощью всех целых чисел с разрезами по положительной части действительной оси. Для каждого целого склеем нижний край экземпляра с верхним краем экземпляра. В результате получим бесконечнолистную поверхность. Обходя замкнутый контур, охватывающий точку 0, в любом направлении любое число раз, мы будем всякий раз попадать на новые листы и никогда не вернемся в первоначальное положение. Бесконечноэначиую функцию на обычной плоскости комплексного переменного можно рассматривать как однозначную на построенной бесконечнолистной поверхности. Тогда на этой же поверхности можно рассматривать как однозначную функцию (эта поверхность является римановой поверхностью для ).