§ 6. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Производная комплексной функции действительного переменного

Пусть — комплексная функция действительного переменного

Эта функция называется непрерывной в точке если всякого 0 найдется такое 0, что при имеем Для непрерывности в точке необходима и достаточна непрерывность функций и в точке

Производная от в точке есть по определению

если он существует, и обозначается или Из определения следует, что для существования необходимо и

достаточно существование — и прячем

Определение производной функции комплекспого переменного

Пусть — функция комплексного переменного Эта функция называется непрерывной в точке если для всякого найдется такое что при (если входит в область определения функции) имеем .

Производная от в точке (функция предполагается определенной в окрестности этой точки) есть по определению

если он существует, и обозначается или

Для существования производной в точке необходима непрерывность функции в этой точке.

Далее, будем говорить, что функция дифференцируема в точке если из приращения функции в этой точке

может быть выделена главная линейная часть, т. е. такая часть вида (где С — некоторое комплексное число), что оставшаяся часть будет бесконечно малой высшего порядка относительно Таким образом, дифференцируема в точке если существует представление

где

Отсюда следует, что

а это значит, что в рассматриваемой точке имеет производную .

Обратно, если функция имеет производную в рассматриваемой точке, то

где при откуда

и, следовательно, в рассматриваемой точке функция дифференцируема.

Таким образом, существование производной и дифференцируемость и точке — явления эквивалентные.

Напоминание о полном дифференциале функции двух действительных переменных

Функция и называется дифференцируемой, иди имеющей полный дифференциал в данной точке (функция предполагается определенной в окрестности этой точки), если из полного приращения функции в этой точке

может быть выделена главная линейная часть, т. е. такая часть вида (где некоторые числа), что оставшаяся часть будет бесконечно малой высшего порядка относительно Таким образом, дифференцируема в точке если существует представление

где

Тогда (беря

откуда видно, что в рассматриваемой точке функция имеет частную производную по х, причем Аналогично обнаруживается существование частной производной по у к равенство

Таким образом, главная линейная часть полного приращения функции равна Она называется полным дифференциалом функции и в данной точке. Обозначая полный дифференциал знаком а приращения независимых переменных знаками получим формулу

Мы видим, что из существования полного дифференциала вытекает существование частных производных. Обратное неверно, т. е. может случиться, что частные производные в точке существуют, а полного дифференциала в этой точке не существует. Тем не менее, если частные производные существуют в окрестности рассматриваемой точки и, кроме того, в данной точке непрерывны, то в данной точке существует паяный дифференциал.

В самом деле, используя формулу Лагранжа, получим:

Но

следовательно, является главной линейной частью полного приращения и, таким образом, полный дифференциал существует.

Необходимые условия дифференцируемости функции комплексного переменного

Пусть

есть функция комплексного переменного дифференцируемая в данной точке

Так как в данной точке дифференцируема, то в этой точке и тоже дифференцируемы. В самом деле, если из приращения может быть выделена главная линейная часть, то действительная часть и коэффициент при в нея суть соответственно главные «шейные части полных приращений

и

Если смещенная точкаг будет стремиться к по горизонтальному пути, то в выражении

следует положить тогда

Если смещенная точка стремится к по вертикальному пути, то в выражении

следует положить Тогда

Следовательно, для существующей по условию производной получим выражения:

откуда

Уравнения (3.28) называются условиями Коши—Римана.

Достаточное условие дифференцируемости функции комплексного переменного

Пусть дифференцируемы и удовлетворяют условиям Коши — Римана в данной точке. Тогда (ниже при имеем:

Но

следовательно,

существует.

Итак, для дифференцируемости функции комплексного переменного в данной точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке были дифференцируемы и удовлетворяли бы условиям Коши — Римана (3.28).

Для имеем формулы

Пример. Пусть условия, очевидно, выполним, и из (3.29) получим

Производная сложной функции

Пусть ; тогда . Из равенства

при находим в пределе

предполагая, что дифференцируема в точке дифференцируема в точке

Вывод формулы (3.30) является законным, когда , так как тогда при достаточно малом будем иметь и запись имеет смысл. Если в данной точке то доказательство нуждается в поправках. Если существуют как угодно малые для которых , то из (3.30) следует, что при стремлении к нулю по таким значениям отношение стремится к

Для тех значений для которых очевидно, поэтому, если существуют как угодно малые для которых то при стремлении к нулю по таким значениям отношение тоже стремится к нулю. Таким образом, стремится к нулю при поэтому существует и равно нулю, а так как в рассматриваемом случае правая часть формулы (3.30) тоже равна нулю, то формула (3.30) справедлива и в случае

Формально техника дифференцирования функций комплексного переменного не отличается от таковой для функций действительного переменного, и мы не будем останавливаться на ней. Заметим еще, что если — комплексная функция действительного переменного, — комплексная функция комплексного переменного, то будет

комплексной функцией действительного переменного. Рассуждая, как при выводе формулы (3.30), получим

в предположении существования производных, фигурирующих в правой части.