§ 7. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ, ИНТЕГРАЛЬНЫЙ СИНУС, ИНТЕГРАЛЬНЫЙ КОСИНУС

Известно, что интегралы не выражаются через элементарные функции и являются новыми трансцендентными функциями. Эти функции (определенные пока с точностью до произвольного постоянного слагаемого) обозначаются соответственно знаками

Разложения в ряды

Делая в равенстве подстановку получим:

откуда (после возвращения к старому аргументу х)

Далее,

откуда после почленного интегрирования находим:

Наконец,

откуда после почленного интегрирования получаем:

Добавления к технике интегрирования

Подстановка дает:

Интегрирование по частям дает формулу приведения:

Подстановка дает:

Интегрирование частям дает формулы приведения

Учитывая, что всякая рациональная функция есть сумма полинома простейших элементов вида заключаем на основании установленных формул, что интегралы вида

станут «берущимися», если к элементарным функциям добавить интегральный логарифм, интегральный сииус и интегральный косинус [если мы хотим оставаться полностью в действительной области, то ограничимся такими рациональными дробями знаменатели которых имеют только действительные корни].

О сходимости некоторых несобственных интегралов

Пусть — положительная непрерывная убывающая функция при , стремящаяся к нулю при Тогда несобственные интегралы сходятся.

Не нарушая общности доказательства, можем положить (в случае можно доопределить на участке так, что при будут выполнены все поставленные условия), при имеем:

где — наибольшее целое чисто такое, что Очевидно, при Подстановка дает:

где

Из убывания функции следует, что при имеем:

Умножая это неравенство на и интегрируя от 0 до найдем Из того, что при следует, что при к ибо

Далее,

и, следовательно, при Таким образом,

где

Принимая во внимание теорему Лейбница о знакочередующихся рядах, заключаем, что

и, следовательно, несобственный интеграл

сходится, что и требовалось доказать.

Интеграл

после подстановки приводится к предыдущему.

Нормировка интегрального синуса и интегрального косинуса

Из сказанного следует, что

суть сходящиеся интегралы. Поэтому при стремятся к конечным пределам. Нормировку (напомним, что эти функции определены пока с точностью до произвольного постоянного слагаемого) можно, например, определить требованиями Тогда (при )

Укажем еще другую нормировку определяя ее требованием (для подобная нормировка не имеет смысла, так как при ). Тогда

(кликните для просмотра скана)

Учитывая, что найдем, что возрастает на убывает на возрастает на убывает на в точках имеет экстремумы. Учитывая, что

(см. гл. I, § 8), заключаем, что при

Кривая имеет горизонтальную асимптоту при бесконечно много раз пересекает эту асимптоту, находясь то выше, то ниже ее.

На рис. 63 и 64 изображены графики интегрального синуса и интегрального косинуса при нормировках

В случае нормировки изображенный на рис. 63 график интегрального синуса следует сдвинуть вверх на