§ 13. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Будем говорить, что последовательность функций

определенных в некоторой области сходится равномерно внутри области если она сходится равномерно на каждой ограниченной замкнутой области, лежащей в

Теорема. Если последовательность аналитических функций в области

сходится равномерно внутри области к функции то — функция, аналитическая в области причем последовательность производных

равномерно сходится внутри области к производной предельной функции,

Пусть С — замкнутый контур, лежащий вместе с внутренностью в и точка внутри С. Тогда по формуле Коши

Но равномерно на С, следовательно,

равномерно на С (при фиксированном ); поэтому на основании правила предельного перехода (3.38)

Рис. 35.

Таким образом, внутри С предельная функция выражается интегралом типа Коши, следовательно, является аналитической. Но любую точку области можно окружить таким контуром С, следовательно, предельная функция аналитична во всей области Пусть теперь — какая-нибудь ограниченная замкнутая область (рис. 35), лежащая в и С — вамкнутый контур длины лежащий вместе с внутренностью в и такой, что лежит внутри С. Пусть — расстояние между С и А (т. е. наименьшее из расстояний точек на С от точек в Д). Имеем при лежащем в [в силу формул (3.44) для ]:

Но на С равномерно, следовательно, для всякого найдется такой номер что при будем иметь при всех С на С. Тогда из последней формулы найдем (по правилу оценки модуля интеграла);

при и любом на А. Этим доказано, что равномерно на любой ограниченной аамкнутой области А, лежащей в

Замечание. Мы видим, что последовательность производных находится в таких же условиях, как последовательность функций поэтому к ней также применима доказанная теорема.

Таким образом, если последовательность аналитических функций в области равномерно сходится внутри к то последовательность производных любого порядка от равномерно сходится внутри к производной такого же порядка от

Пусть теперь имеем функциональный ряд

члены которого суть аналитические функции в области Из доказанного следует, что если этот ряд разномерно сходится внутри то его сумма аналитична в и ряд можно сколько угодно раз почленно дифференцировать, причем все получающиеся ряды равномерно сходятся внутри

Аналитичность суммы степенного ряда

Пусть — степенной ряд и — его радиус сходимости. Пусть . Точка как лежащая внутри круга сходимости (рис. 36), есть точка абсолютной сходимости степенного ряда, т. е. ряд сходится. Но при имеем поэтому степенной ряд равномерно сходится на круге т. Так как любая замкнутая область, лежащая внутри круга сходимости, может быть заключена в круг при надлежащем выборе числа то приходим к следующему заключению: всякий степенной ряд равномерно сходится внутри круга сходимости.

Рис. 36.

Примечание. На внутренности круга сходимости сходимость может быть неравномерной.

Так как члены степенного ряда являются аналитическими функциями, то из доказанной теоремы следует, что сумма степенного ряда есть аналитическая функция внутри круга сходимости и что степенной ряд можно любое число раз почленно дифференцировать внутри круга сходимости. Следовательно, получающиеся в результате этого степенные ряды имеют не меньший радиус сходимости (на самом деле — тот же радиус сходимости).

Рис. 37.

Рис. 38.

Аналогично, степенной ряд равномерно сходится внутри круга с центром в точке а (рис. 37), а его сумма есть аналитическая функция внутри этого круга; ряд имеющий кольцо сходимости (рис. 38), равномерно сходится внутри кольца и его сумма есть аналитическая функция внутри этого кольца. При этом законно почленное дифференцирование любое число раз.