§ 11. ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ ФОРМУЛЫ СТОКСА. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Пусть а — векторное поле (область определения вектор-функции — односвязна), 5 — кусок поверхности, С — контур, ограничивающий его. Имеем в силу (2.26) и (2.45):

Определение. Вихрем векторного поля в точке х, называется вектор

обозначаемый знаком (а также символом )

Из формулы (2.39) находим:

Из (2.46) и (2.46") находим:

причем направление обхода контура С берется положительным для выбранной стороны поверхности Формула (2.46) является векторной записью формулы Стокса и показывает, что циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку вихря через поверхность, натянутую на этот контур.

Инвариантное определение вихри

Применяя формулу Стокса к бесконечно малой площадке, содержащей рассматриваемую точку, получим следующую инвариантную (независимую от координатной системы) характеристику вихря.

Проекция вихря на какое-нибудь направление равна отнесенной к единице площади циркуляции векторного поля вдоль контура бесконечно малой площадки, содержащей рассматриваемую точку и перпендикулярной к выбранному направлению.

Безвихревые векторные поля

Векторное поле а называется безвихревым, если имеем тождественно

Из определения вихря видно, что для этого необходимо и достаточно, чтобы

Но эти условия [см. формулы (2.27) в § 6], как мы знаем, необходимы и достаточны для потенциальности векторного поля.

Итак, для того чтобы векторное поле было безвихревым, необходимо и достаточно, чтобы оно было потенциальным.

Таким образом, понятие безвихревого векторного поля эквивалентно понятию потенциального векторного поля.

Так как поле градиентов какого-нибудь скалярного поля потенциально, то получаем тождество

Соленоидальность поля вихрей

Пусть — какое-нибудь векторное поле; тогда его вихри образуют некоторое векторное поле Это есть поле вихрей данного векторного поля. Поле вихрей всегда

соленоидально. В самом деле,

Итак,

Формальные свойства вихря

Пусть — векторные поля, скалярное поле. Тогда

В самом деле,

Многоточия всюду обозначают, что следует выписать второе и третье слагаемые, получающиеся из первого круговой перестановкой по схеме