Конформное отображение области на область

Определение. Взаимно однозначное отображение области на область конформное в каждой точке области называется конформным отображением области на область (речь идет об областях на полной плоскости).

Всякая мероморфная (в частности, аналитическая) однолистная функция в области дает конформное отображение области на соответствующую ей область значений функции

Это следует из того, что производная однолистной функции в каждой регулярной точке отлична от нуля (и вовможный полюс — простой), и из того, что отображение конформно в точке, если выполняющая отображение функция имеет в этой точке отличную от нуля производную (или простой полюс).

Для практического построения конформных отображений областей полезна

Теорема. Если аналитична в области, ограниченной простым замкнутым контуром С, и на нем и если унивалентна на С, то будет конформным отображениях области, ограниченной простым замкнутым контуром С, на область, ограниченную простым замкнутым контуром Г, старый описывает точка когда точка описывает С.

Доказательство. Пусть а — точка внутри (вне) Г. По принципу аргумента число корней уравнения лежащих внутри С, равно

а это число (из геометрических соображений) равно показывает, что внутри принимает ровно один из каждое значение, лежащее внутри Г, и не принимает значений, лежащих вне Г. Так как множество значений всегда принимает всевозможные значения внутри С, — открытое то значениями не могут быть точки контура Г либо в противном случае некоторые точки вне Г оказались бы значениями что невозможно). Итак, когда пробегает все точки, лежащие внутри контура по одному разу пробегает все точки, лежащие внутри контура Г, что и требовалось доказать.