Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 9 ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ ФОРМУЛЫ ОСТРОГРАДСКОГО. ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯПоверхностный интеграл от вектор-функции Пусть а направленный по нормали в точке
Если наибольший из диаметров частей рассматриваемого куска поверхности стремится к нулю, то эта сумма стремится к определенному пределу, который называется поверхностным интегралом от а «ориентированный элемент поверхности»).
Рис. 16. Поверхностный интеграл от вектор-функции легко выражается через обыкновенный поверхностный интеграл. Зададим систему координат. Пусть
или
Одновременно мы получаем доказательство существования поверхностиого интеграла от вектор-функции, считая, что существование обыкновенных поверхностных интегралов уже доказано. Пусть а
Рис. 17. Следовательно, Дивергенция векторного поля и векторная запись формулы ОстроградскогоЕсли
Определение. Дивергенцией векторного поля
Вставляя этот символ в формулу (2.39). получим:
Эта формула, являющаяся векторной записью формулы Остроградского, показывает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность равен тройному интегралу Точки, в которых дивергенция положительна, называются источниками (в этом случае поток векторного поля через малую замкнутую поверхность, окружающую такую точку, положителен). Точки, в которых дивергенция отрицательна, называются стоками (в этом случае поток векторного поля через малую замкнутую поверхность, окружающую такую точку, отрицателен). Инвариантное определение дивергенцииФормула Остроградского позволяет дать инвариантное (независимое от системы координат) определение дивергенции векторного поля. С помощью теоремы о среднем для тройных интегралов находим:
где Таким образом, дивергенция векторного поля в какой-нибудь точке равна отнесенному к единице объема потоку векторного поля через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую данную точку. Формальные свойства дивергенцииПусть
в самом деле,
Многотомен всюду обозначают, что следует вписать второе и третье слагаемые, аналогичные первому, получаю щиеся Соленоидальные иекторные поляВекторное поле а, для которого тождестиенно Из (2.41) следует, что в случае соленоидального векторного поля поток векторного поля через всякую замкнутую поверхность равен нулю. Если взять векторную трубку (рис. 18), пронести два сечения ее
Рис. 18. Если векторное поле соленоидально, то потоки векторного поля через различные сечения векторной трубки равны между собой. Пример. Рассмотрим какое-нибудь центрированное поле (см. пример в конце § 6)
Отсюда заключаем, что центрерованное поле
Разделив переменные, получим
|
1 |
Оглавление
|