Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 9 ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ ФОРМУЛЫ ОСТРОГРАДСКОГО. ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯПоверхностный интеграл от вектор-функции Пусть а направленный по нормали в точке
Если наибольший из диаметров частей рассматриваемого куска поверхности стремится к нулю, то эта сумма стремится к определенному пределу, который называется поверхностным интегралом от а «ориентированный элемент поверхности»).
Рис. 16. Поверхностный интеграл от вектор-функции легко выражается через обыкновенный поверхностный интеграл. Зададим систему координат. Пусть
или
Одновременно мы получаем доказательство существования поверхностиого интеграла от вектор-функции, считая, что существование обыкновенных поверхностных интегралов уже доказано. Пусть а
Рис. 17. Следовательно, Дивергенция векторного поля и векторная запись формулы ОстроградскогоЕсли
Определение. Дивергенцией векторного поля
Вставляя этот символ в формулу (2.39). получим:
Эта формула, являющаяся векторной записью формулы Остроградского, показывает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность равен тройному интегралу Точки, в которых дивергенция положительна, называются источниками (в этом случае поток векторного поля через малую замкнутую поверхность, окружающую такую точку, положителен). Точки, в которых дивергенция отрицательна, называются стоками (в этом случае поток векторного поля через малую замкнутую поверхность, окружающую такую точку, отрицателен). Инвариантное определение дивергенцииФормула Остроградского позволяет дать инвариантное (независимое от системы координат) определение дивергенции векторного поля. С помощью теоремы о среднем для тройных интегралов находим:
где Таким образом, дивергенция векторного поля в какой-нибудь точке равна отнесенному к единице объема потоку векторного поля через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую данную точку. Формальные свойства дивергенцииПусть
в самом деле,
Многотомен всюду обозначают, что следует вписать второе и третье слагаемые, аналогичные первому, получаю щиеся Соленоидальные иекторные поляВекторное поле а, для которого тождестиенно Из (2.41) следует, что в случае соленоидального векторного поля поток векторного поля через всякую замкнутую поверхность равен нулю. Если взять векторную трубку (рис. 18), пронести два сечения ее
Рис. 18. Если векторное поле соленоидально, то потоки векторного поля через различные сечения векторной трубки равны между собой. Пример. Рассмотрим какое-нибудь центрированное поле (см. пример в конце § 6)
Отсюда заключаем, что центрерованное поле
Разделив переменные, получим
|
1 |
Оглавление
|