§ 9 ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ ФОРМУЛЫ ОСТРОГРАДСКОГО. ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Поверхностный интеграл от вектор-функции

Пусть а — непрерывная вектор-функция на двустороннем куске поверхности При этом предполагается, что имеет в каждой точке касательную плоскость, направление которой непрерывно зависит от точки поверхности (или же кусок 5 может быть разбит на конечное число таких частей). Выберем на какую-нибудь сторону (рис. 16). Разобьем на части; пусть площади этих частей будут На каждой части возьмем точку и построим вектор

направленный по нормали в точке к выбранной стороне поверхности и имеющий длину Затем значение вектор-функции в точке скалярно умножим на и составим сумму таких скалярных произведений

Если наибольший из диаметров частей рассматриваемого куска поверхности стремится к нулю, то эта сумма стремится к определенному пределу, который называется поверхностным интегралом от а по выбранной стороне поверхности и обозначается знаком (здесь есть

«ориентированный элемент поверхности»).

Рис. 16.

Поверхностный интеграл от вектор-функции легко выражается через обыкновенный поверхностный интеграл. Зададим систему координат. Пусть , — координаты тогда

с точностью до бесконечно малых высшего порядка равны соответственно поэтому

или

Одновременно мы получаем доказательство существования поверхностиого интеграла от вектор-функции, считая, что существование обыкновенных поверхностных интегралов уже доказано.

Пусть а — векторное поле и -кусок поверхности. Если это векторное поле рассматривать как поле скоростей потока жидкости, то через элементарную площадку (рис. 17) в единицу времени вытечет столб жидкости, объем которого есть

Рис. 17.

Следовательно, есть количество жидкости, протекающей через поверхность в единицу времени. По этой причине поверхностный интеграл называется потоком векторного поля через поверхность

Дивергенция векторного поля и векторная запись формулы Остроградского

Если есть замкнутая поверхность, ограничивающая область то в силу (2.39) и (2.38) (интегрируя по внешней стороне поверхности) получим:

Определение. Дивергенцией векторного поля в точке называется скаляр обозначаемый символом Таким образом,

Вставляя этот символ в формулу (2.39). получим:

Эта формула, являющаяся векторной записью формулы Остроградского, показывает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность равен тройному интегралу дивергенции поля по объему, ограниченному этой поверхностью.

Точки, в которых дивергенция положительна, называются источниками (в этом случае поток векторного поля через малую замкнутую поверхность, окружающую такую точку, положителен). Точки, в которых дивергенция отрицательна, называются стоками (в этом случае поток векторного поля через малую замкнутую поверхность, окружающую такую точку, отрицателен).

Инвариантное определение дивергенции

Формула Остроградского позволяет дать инвариантное (независимое от системы координат) определение дивергенции векторного поля. С помощью теоремы о среднем для тройных интегралов находим:

где — бесконечно малая поверхность, окружающая данную точку, V — объем области, ограниченной этой поверхностью.

Таким образом, дивергенция векторного поля в какой-нибудь точке равна отнесенному к единице объема потоку векторного поля через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую данную точку.

Формальные свойства дивергенции

Пусть — векторные ноля, — скалярное поле. Тогда

в самом деле,

Многотомен всюду обозначают, что следует вписать второе и третье слагаемые, аналогичные первому, получаю щиеся него заменой х на у в

Соленоидальные иекторные поля

Векторное поле а, для которого тождестиенно называется соленопдальным.

Из (2.41) следует, что в случае соленоидального векторного поля поток векторного поля через всякую замкнутую поверхность равен нулю.

Если взять векторную трубку (рис. 18), пронести два сечения ее и и принять во внимание, что поток через боковую стенку всегда разен нулю, приходим к такому заключению:

Рис. 18.

Если векторное поле соленоидально, то потоки векторного поля через различные сечения векторной трубки равны между собой.

Пример. Рассмотрим какое-нибудь центрированное поле (см. пример в конце § 6) где Тогда

Отсюда заключаем, что центрерованное поле соленоидально только тогда, когда функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

Разделив переменные, получим , откуда Таким образом, центрированное векторное поле будет соленондально только в том случае, когда длины векторов этого поля обратно пропорциональны квадратам расстояний точек приложения от центра.