§ 2. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Пусть — вектор, зависящий от скалярного перемен» ного Производная векторной функции определяется как вектор

если этот векторный предел существует (предел переменного вектора есть такой вектор, что длина разности между ним и переменным вектором стремится к нулю). Нели вектор-функция имеет производную (дифференцируема), то она подавно непрерывна в рассматриваемой точке, т. е. стремится к нулевому вектору при

Правила дифференцирования векторных функций выводятся как правила дифференцирования скалярных функций в дифференциальном исчислении. Если — дифференцируемые векторные функции, дифференцируемая скалярная функция, то

причем в левых частях (2.4), (2.5), (2.7) фигурируют производные векторных функций; в левой части (2.6) — производная скалярной функции; в правых частях (2.4), (2.5), (2.7) знак обозначает сложение векторов; в правой части (2.6) знак обозначает сложение скаляров.

Если — постоянный вектор, постоянный скаляр, то получаем ряд формул «вынесения постоянного множителя за знак производной» в произведениях трех типов (вектор на скаляр, скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов):

Эти формулы получаются из (2.5), (2.6), (2.7), если учесть, что производная векторной постоянной есть нулевой вектор.

Производные высших порядков от вектор-функций определяются как результат последовательного дифференцирования.

Рассмотрим систему прямоугольных координат в пространстве. Каждой точке отнесем вектор с такими же координатами. Такое

соответствие между точками и векторами будет взаимно однозначным. Таким образом, каждой точке соответствует вектор, каждому вектору соответствует точка.

Векторное параметрическое уравнение [ — векторная функция одного скалярного переменного] после перевода на координатный язык дает три координатных параметрических уравнения

и изображает некоторую кривую в пространстве. Производная будет касательным вектором к этой кривой.

Векторное параметрическое уравнение — векторная функция двух скалярных переменных] после перевода на координатный язык дает три координатных параметрических уравнения

и изображает некоторую поверхность в пространстве.