ГЛАВА IV. О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ

§ 1. ГАММА-ФУНКЦИЯ

Гамма-функция, или эйлеров интеграл рода, определяется (для положительных значений независимого переменного формулой

Интеграл в правой части является несобственным при верхнем пределе и, кроме того, в случае несобственным при нижнем пределе. Сходимость интеграла (4.1) при всех обеспечена, так как при показательная функция растет быстрее любой степенной функции и так как интеграл с нижним пределом при сходится.

Формула приведения для гамма-функции (первая основная формула)

Интегрирование по частям дает:

Таким образом, получаем формулу приведения

Отсюда заключаем, что

и вообще

а тогда при натуральном

но

следовательно,

Формула приведения (4.2) позволяет выразить значения гамма-функции для любого положительного черев ее значения для лежащего между 0 и 1.

Второе выражение гамма-функции

Делая подстановку получим:

или, заменяя на х,

откуда, в частности,

Ниже будет показано, что (см. стр. 213), откуда с помощью (4.3) найдем для любого натурального я:

Бета-функция

Бета-функция, или эйлеров интеграл 1-го рода, определяется (для положительных значении независимых переменных формулой

Этот интеграл является несобственным при нижием пределе в случае и несобственным при верхнем пределе в случае

Делая подстановку получим второе выражение для бета-функции:

Бета-функция может быть легко выражена через Г-функцию посредством формулы

Действительно, перемножая равенства

и переходя в получающемся двойном интеграле к полярным координатам

получим (рис. 58 и 59):

откуда и вытекает формула (4.9).

Из формулы (4.9) видно, что бета-функция симметрична:

В случае натуральных из (4.9) и (4.4) следует:

Затем в силу (4.8) но по (4.9)

но по (4.9)

откуда, учитывая, что подучим равенство которое было использовано при выводе формулы (4.6).

Рис. 58.

Рис. 59.

Так как как уже отмечалось, следует, что

то отсюда находим:

или (учитывая четность функции

Интеграл, фигурирующий в формулах (4.10) или (4.10), называется интегрелом Гауссе.

Если — любое положительное, — натуральное, то из (4.9), (4.4), (4.3) находим:

Делая в формуле (4.7) подстановку

(и меняя затем у на получим третье выражение для бета-функции:

откуда

или, учитывая (4.9),

Вычисление интеграла где

Пусть сперва я — рациональное число вида где — четное, — нечетное, Подстановка даст:

Используя правило вычисления несобственных интегралов с помощью вычетом (см. гл. III, § 17), подучим:

где а — полюсы рациональной дроби

лежащие в верхней полуплоскости, т. е. корни уравнения имеющие положительный коэффициент при Имеем:

Из эти значений положительный коэффициент при имеют значения, соответствующие Следовательно, все значения а суть

С помощью правила вычисления вычета относительно простого полюса находим:

Таким образом, имеем при (используя в процессе преобразований суммирование геометрической прогрессии и выражение синуса через показательную функцию по формуле Эйлера):

где

и, следовательно, Но левая часть нашей цепочки равенств и коэффициент при положительны, поэтому Таким образом, имеем при равенство

по левая и правая части этого равенства суть непрерывные функции от на иитерваяе (мы не останавливаемся здесь на обосновании непрерывности левой части), а так как каждое действительное число этого интервала можно представить как предел последовательности правильных рациональных дробей вида где — четное, — нечетное, для которых упомянутое равенство доказано, то в пределе найдем справедливость его для всех Итак,

Вторая основная формула для гамма-функции

Из (4.12) и (4.13) находим:

Формула (4.14) позволяет пыразнть значение гамма-функцни для лежащих между и 1, через ее значения для лежащих между 0 и

Гамма-функция как предел произведения

Учитывая, что при найдем:

(законность этого предельного перехода легко установить, но на этом мы не останавливаемся). Положим:

Интегрирование по частям дает:

значит, применяя последовятельно эту формулу и учи тывая, что

найдем:

Таким образом,

Можно показать, что предел, стоящий в правой части формулы (4.15), существует для всех комплексных чисел (конечный для всех отличных от нуля и отрицательных целых чисел). Выражение (4.15) может служить определением гамма-функции для любого комплексного значения

Если формула (4.16) принята за определение гамма-функции, то формулу приведения (4.2) можно доказать следующим образом:

Гамма-функция является аналитической на всей плоскости комплексного переменного, за исключением точек 0, —1, - 2, -3..... являющихся для нее простыми полюсами.

Гамма-фуикция, как это можно установить, нигде в иуль не обращается.