§ 11. ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ

Пусть Г — кусочно-гладкая дуга (замкнутая или незамкнутая). Пусть - непрерывная функция на дуге Г (рис. 34). Тогда выражение

имеющее смысл для всех не лежащих на Г (ибо тогда подынтегральное выражение будет непрерывной функцией от С), называется интегралом типа Коши. То же можно сказать о выражении более общего вида

где к — натуральное число.

Рис. 34.

Покажем, что выражение (3.41) является аналитической функцией для всех значений не лежащих на дуге Г. Учитывая формулу

получаем:

Фиксируя и полагая

можем написать:

Очевидно, есть непрерывная функция своих аргументов, когда С лежит на не лежит на Г.

Она будет равномерно непрерывной функцией переменных когда находится на на круге с центром не имеющем общих точек с Г (по теореме о равномерной непрерывности функции, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве). Отсюда следует, что при имеем равномерно относительно на Г. Вследствие этого излагаемый ниже предельный переход под знаком интеграла является законным.

Переходя к пределу при получим:

Учитывая, что и замечая, что

приходим к формуле

Таким образом, имеет производную в каждой точке не лежащей на Г.

Итак, если — непрерывная функция на кусочно-гладкой дуге Г, то функция

является аналитической для всех значений не лежащих на Г, причем производная этой функции получается по правилу дифференцирования под знаком интеграла:

Выражение для имеет снова тип (3.4 Г), поэтому к нему применимо все сказанное о Отсюда заключаем, что функция, определяемая формулой

для всех значений не лежащих на Г, имеет производные всех порядков, причем выражения для них получаются в ревультате последовательных дифференцирований под знаком интеграла: