§ 3. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

1. Однородность. Если то

В самом деле,

2. Аддитивность. Если

В самом деле,

3. Подобие. Если то

В самом деле,

4. Дифференцирование оригинала. Если непрерывно дифференцируема на и если есть оригинал [тогда тоже оригинал и существует], то из следует:

В самом деле, интегрирование по частям дает при

Если больше показателя роста то модуль не может для всех достаточно больших доставаться больше некоторого положительного числа, поэтому найдется такая последовательность положительных что Беря теперь и переходя к пределу в нышенаписанном равенстве, получим при большем показателей роста

5. Обобщение. Если раз непрерывно дифференцируема на и если есть оригинал [тогда — тоже оригиналы и существуют], то из следует:

В самом деле, это получается из свойства 4 по индукции. При утверждение справедливо по свойству 4. Если утверждение справедливо для то

Отсюда по свойству 4

6. Умножение оригинала на минус аргумент (дифференцирование изображения). Если то

В самом деле,

7. Обобщение. Если то

В самом деле, это получается из свойства 6 по индукции. При утверждение справедливо по свойству 6. Если утверждение справедливо для то

откуда по свойству 6

8. Интегрирование оригинала. Если непрерывна на то

В самом деле, пусть тогда и по свойству 4 имеем следовательно,

9. Деление оригинала на аргумент (интегрирование изображении). Если есть оригинал [тогда тоже оригинал], то из следует:

В самом деле, пусть тогда по свойству следозательно, Интегрируя

(кликните для просмотра скана)