§ 11. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ

Будем рассматривать действительные функции на каком-нибудь интервале (закрытом, открытом или полуоткрытом) с концами (а конечно или равно конечно или равно на котором фиксирована некоторая положительная непрерывная функция (весовая функция). Будем предполагать функции непрерывными на рассматриваемом интервале и такими, что

Для таких функций положим

Этот интеграл имеет смысл, так как

Определение. Функции (удовлетворяющие указанным выше требованиям) называются ортогональными относительно веса на данном интервале, если

Ортогональность не нарушается при умножении функций на постоянные множители.

Определение. Функция (удовлетворяющая указанным требованиям) называется нормированной относительно веса на данном интервале, если

Не исчезающую тождественно можно сделать нормированной, умножив на подходящий постоянный множитель X (нормирующий множитель). Этот множитель X следует выбрать так, чтобы

откуда

Например, для х на [0, 1] при единичном весе

Рассмотрим бесконечную систему функций

(удовлетворяющих отмеченным в начале параграфа требованиям). Назовем систему ортогональной относительно веса на данном интервале, если все функции этой системы не исчезают тождественно и попарно ортогональны относительно веса на рассматриваемом интервале, т. е. если

Назовем систему ортонормированной относительно веса на данном интервале, если она ортогональная и все (ее функции нормированные относительно названного веса на

рассматриваемом интервале, т. е. если

Если некоторая функция допускает разложение

то, умножая это равенство на и интегрируя затем почленно в пределах от а до (если это законно), получим:

Откуда

Определение. Рядом Фурье какой-нибудь функции (удовлетворяющей отмеченным в начале параграфа требованиям) относительно ортогональной системы называется ряд

коэффициенты которого определяются по формулам (1.47).

Разумеется, из этого определения не следует, что должна непременно разлагаться в свой ряд Фурье.

Пример. На сегменте система функций

ортогональна относительно единичного веса (см. вычисление вспомогательных интегралов § 2). Обозначая коэффициенты Фурье какой-нибудь функции на относительно системы через

найдем по формулам (1.47):

которые в данном случае превращаются в формулы (1.7) § 2.

Тригонометрические ряды Фурье являются частным случаем рядов Фурье относительно ортогональных систем функций.

Если функции, составляющие какую-нибудь ортогональную систему умножить на какие-нибудь постоянные , то получим снона ортогональную систему. Коэффициенты Фурье какой-нибудь функции при этом разделятся на [как видно из формул (1.47)], члены же ряда Фурье не изменятся . В случае ортонормированной системы формулы (1.47) принимают вид

Ортогонализация системы функций

Пусть - бесконечная система линейно независимых функций (удовлетворяющих отмеченным в начале параграфа требованиям). Взяв произвольные действительные числа последовательно построим функции

По индукции видно, что каждая функция есть линейная комбинация функций с коэффициентом 1 при откуда следует, что функции линейно независимы. В частности, каждая не исчезает тождественно.

Покажем, что можно (единственным образом) подобрать числа так, что система функций станет ортогональной относительно веса на данном интервале (процесс построения таких называется ортогонализацией системы линейно независимых функций Требование

дает

Пусть теперь при уже определены и попарно ортогональны. Тогда требования

дают и таким образом все при определены и функции попарно ортогональны. И как, индукция проведена, и утверждение доказано.

Ортогональные полиномы

Наложим на весовую функцию добавочное условие:

Тогда функции будут удовлетворять отмеченным в начале параграфа требованиям. Применяя процесс ортогонализации относительно веса на рассматриваемом интервале к системе степенных функций получим последовательность полиномов

степеней с единичными старшими коэффициентами, образующих ортогональную (относительно веса на данном интервале) систему.

Отметим некоторые свойства этих полиномов.

Если - произвольный полином степени то ибо, разлагая по полиномам получим

откуда

Покажем, что полиномы удовлетворяют простым рекуррентным соотношениям. Очевидно, — некоторое число). Разлагая при полином (его степень, очевидно, по

получим

— некоторые числа), откуда при

Но

что при равно нулю, следовательно, затем, разлагай по найдем

(-некоторые числа), поэтому Следовательно, полагая получим:

Таким образом, всякий интервал и всякая заданная на нем весовая функция порождают такую последовательность положительных чисел и такую последовательность действительных чисел что соответствующие ортогональные полиномы удовлетворяют соотношениям

Отметим интервалы и заданные на них весовые функции, порождающие классические ортогональные полиномы

Различные аналитические выражения для упомянутых в этой таблице полиномов мы здесь не рассматриваем.

Свойства нулей ортогональных полиномов

При любом интервале и любом заданном на нем весе нули ортогональных полиномов обладают нижеследующими свойствами:

1) Все нули полиномов действительные, простые и лежат в интервале

Доказательство. Пусть те из нулей которые действительны, лежат на и имеют нечетную кратность. Пусть . Если то но это невозможно, так как сохраняет постоянный знак на Следовательно, должно быть Отсюда видно, что имеет на нулей, поэтому все они простые и других нулей не имеет.

2) Полиномы с соседними индексами не имеют общих нулей.

В самом деле, из (1.48) нидно, что общий нуль днух полиномон с соседними индексами был бы нулем нсех поли номон с меньшими индексами (ибо все ), то это невозможно, так как

3) В каждом нуле полинома полиномы имеют разные знаки.

Это нидно из (1.48) (ибо нее ).

4) Между нсякими днумя соседними нулями полинома лежит один нуль полинома

Доказательство. Доказываемое предложение справедлино при ибо в нуле полинома полином отрицателен, так как там будучи тождественной единицей, положителен; следонательно, нули квадратного трехчлена лежат по разные стороны от нуля линейной функции Предположим теперь, что доказываемое предложение спранедливо для (т. е. между нсякими двумя соседними нулями полинома лежит один нуль полинома . В нулях полинома значения знакочередуются (в силу простоты нулей и силу сделанного предположения), следовательно, на основании значения также знакочередуются. Отсюда видно, что между нсякими соседними нулями полинома находится нуль полинома (что дает нуля). Затем, пранее большего и ленее меньшего из нулей найдется по нулю полинома ибо знак и названных нулях противоположен тому знаку, какой имеет соответственно нблизи и вблизи а. Полученные нулей полинома исчерпывают его нули и обеспечивают искомое взаиморасположение нулей Итак, индукция проведена и предложение доказано.