Главная > Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 11. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ

Будем рассматривать действительные функции на каком-нибудь интервале (закрытом, открытом или полуоткрытом) с концами (а конечно или равно конечно или равно на котором фиксирована некоторая положительная непрерывная функция (весовая функция). Будем предполагать функции непрерывными на рассматриваемом интервале и такими, что

Для таких функций положим

Этот интеграл имеет смысл, так как

Определение. Функции (удовлетворяющие указанным выше требованиям) называются ортогональными относительно веса на данном интервале, если

Ортогональность не нарушается при умножении функций на постоянные множители.

Определение. Функция (удовлетворяющая указанным требованиям) называется нормированной относительно веса на данном интервале, если

Не исчезающую тождественно можно сделать нормированной, умножив на подходящий постоянный множитель X (нормирующий множитель). Этот множитель X следует выбрать так, чтобы

откуда

Например, для х на [0, 1] при единичном весе

Рассмотрим бесконечную систему функций

(удовлетворяющих отмеченным в начале параграфа требованиям). Назовем систему ортогональной относительно веса на данном интервале, если все функции этой системы не исчезают тождественно и попарно ортогональны относительно веса на рассматриваемом интервале, т. е. если

Назовем систему ортонормированной относительно веса на данном интервале, если она ортогональная и все (ее функции нормированные относительно названного веса на

рассматриваемом интервале, т. е. если

Если некоторая функция допускает разложение

то, умножая это равенство на и интегрируя затем почленно в пределах от а до (если это законно), получим:

Откуда

Определение. Рядом Фурье какой-нибудь функции (удовлетворяющей отмеченным в начале параграфа требованиям) относительно ортогональной системы называется ряд

коэффициенты которого определяются по формулам (1.47).

Разумеется, из этого определения не следует, что должна непременно разлагаться в свой ряд Фурье.

Пример. На сегменте система функций

ортогональна относительно единичного веса (см. вычисление вспомогательных интегралов § 2). Обозначая коэффициенты Фурье какой-нибудь функции на относительно системы через

найдем по формулам (1.47):

которые в данном случае превращаются в формулы (1.7) § 2.

Тригонометрические ряды Фурье являются частным случаем рядов Фурье относительно ортогональных систем функций.

Если функции, составляющие какую-нибудь ортогональную систему умножить на какие-нибудь постоянные , то получим снона ортогональную систему. Коэффициенты Фурье какой-нибудь функции при этом разделятся на [как видно из формул (1.47)], члены же ряда Фурье не изменятся . В случае ортонормированной системы формулы (1.47) принимают вид

Ортогонализация системы функций

Пусть - бесконечная система линейно независимых функций (удовлетворяющих отмеченным в начале параграфа требованиям). Взяв произвольные действительные числа последовательно построим функции

По индукции видно, что каждая функция есть линейная комбинация функций с коэффициентом 1 при откуда следует, что функции линейно независимы. В частности, каждая не исчезает тождественно.

Покажем, что можно (единственным образом) подобрать числа так, что система функций станет ортогональной относительно веса на данном интервале (процесс построения таких называется ортогонализацией системы линейно независимых функций Требование

дает

Пусть теперь при уже определены и попарно ортогональны. Тогда требования

дают и таким образом все при определены и функции попарно ортогональны. И как, индукция проведена, и утверждение доказано.

Ортогональные полиномы

Наложим на весовую функцию добавочное условие:

Тогда функции будут удовлетворять отмеченным в начале параграфа требованиям. Применяя процесс ортогонализации относительно веса на рассматриваемом интервале к системе степенных функций получим последовательность полиномов

степеней с единичными старшими коэффициентами, образующих ортогональную (относительно веса на данном интервале) систему.

Отметим некоторые свойства этих полиномов.

Если - произвольный полином степени то ибо, разлагая по полиномам получим

откуда

Покажем, что полиномы удовлетворяют простым рекуррентным соотношениям. Очевидно, — некоторое число). Разлагая при полином (его степень, очевидно, по

получим

— некоторые числа), откуда при

Но

что при равно нулю, следовательно, затем, разлагай по найдем

(-некоторые числа), поэтому Следовательно, полагая получим:

Таким образом, всякий интервал и всякая заданная на нем весовая функция порождают такую последовательность положительных чисел и такую последовательность действительных чисел что соответствующие ортогональные полиномы удовлетворяют соотношениям

Отметим интервалы и заданные на них весовые функции, порождающие классические ортогональные полиномы

Различные аналитические выражения для упомянутых в этой таблице полиномов мы здесь не рассматриваем.

Свойства нулей ортогональных полиномов

При любом интервале и любом заданном на нем весе нули ортогональных полиномов обладают нижеследующими свойствами:

1) Все нули полиномов действительные, простые и лежат в интервале

Доказательство. Пусть те из нулей которые действительны, лежат на и имеют нечетную кратность. Пусть . Если то но это невозможно, так как сохраняет постоянный знак на Следовательно, должно быть Отсюда видно, что имеет на нулей, поэтому все они простые и других нулей не имеет.

2) Полиномы с соседними индексами не имеют общих нулей.

В самом деле, из (1.48) нидно, что общий нуль днух полиномон с соседними индексами был бы нулем нсех поли номон с меньшими индексами (ибо все ), то это невозможно, так как

3) В каждом нуле полинома полиномы имеют разные знаки.

Это нидно из (1.48) (ибо нее ).

4) Между нсякими днумя соседними нулями полинома лежит один нуль полинома

Доказательство. Доказываемое предложение справедлино при ибо в нуле полинома полином отрицателен, так как там будучи тождественной единицей, положителен; следонательно, нули квадратного трехчлена лежат по разные стороны от нуля линейной функции Предположим теперь, что доказываемое предложение спранедливо для (т. е. между нсякими двумя соседними нулями полинома лежит один нуль полинома . В нулях полинома значения знакочередуются (в силу простоты нулей и силу сделанного предположения), следовательно, на основании значения также знакочередуются. Отсюда видно, что между нсякими соседними нулями полинома находится нуль полинома (что дает нуля). Затем, пранее большего и ленее меньшего из нулей найдется по нулю полинома ибо знак и названных нулях противоположен тому знаку, какой имеет соответственно нблизи и вблизи а. Полученные нулей полинома исчерпывают его нули и обеспечивают искомое взаиморасположение нулей Итак, индукция проведена и предложение доказано.

1
Оглавление
email@scask.ru