Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 11. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙБудем рассматривать действительные функции
Для таких функций
Этот интеграл имеет смысл, так как Определение. Функции
Ортогональность не нарушается при умножении функций на постоянные множители. Определение. Функция
Не исчезающую тождественно
откуда
Например, для х на [0, 1] при единичном весе
Рассмотрим бесконечную систему функций
(удовлетворяющих отмеченным в начале параграфа требованиям). Назовем систему
Назовем систему рассматриваемом интервале, т. е. если
Если некоторая функция
то, умножая это равенство на
Откуда
Определение. Рядом Фурье какой-нибудь функции
коэффициенты которого определяются по формулам (1.47). Разумеется, из этого определения не следует, что Пример. На сегменте
ортогональна относительно единичного веса (см. вычисление вспомогательных интегралов § 2). Обозначая коэффициенты Фурье какой-нибудь функции
найдем по формулам (1.47):
которые в данном случае превращаются в формулы (1.7) § 2. Тригонометрические ряды Фурье являются частным случаем рядов Фурье относительно ортогональных систем функций. Если функции, составляющие какую-нибудь ортогональную систему
Ортогонализация системы функцийПусть
По индукции видно, что каждая функция Покажем, что можно (единственным образом) подобрать числа так, что система функций
дает
Пусть теперь
дают Ортогональные полиномыНаложим на весовую функцию
Тогда функции
степеней Отметим некоторые свойства этих полиномов. Если
откуда
Покажем, что полиномы
Но
что при
(
Таким образом, всякий интервал и всякая заданная на нем весовая функция
Отметим интервалы и заданные на них весовые функции, порождающие классические ортогональные полиномы
Различные аналитические выражения для упомянутых в этой таблице полиномов мы здесь не рассматриваем. Свойства нулей ортогональных полиномовПри любом интервале и любом заданном на нем весе нули ортогональных полиномов обладают нижеследующими свойствами: 1) Все нули полиномов Доказательство. Пусть 2) Полиномы В самом деле, из (1.48) нидно, что общий нуль днух полиномон с соседними индексами был бы нулем нсех поли номон с меньшими индексами (ибо все 3) В каждом нуле полинома Это нидно из (1.48) (ибо нее 4) Между нсякими днумя соседними нулями полинома Доказательство. Доказываемое предложение справедлино при
|
1 |
Оглавление
|