§ 8. ИНТЕГРАЛ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Простой интеграл от комплексной функции действительного переменного

Пусть — непрерывная комплексная функция действительного переменного на сегменте (рис. 28).

Рис. 28.

Разбив этот сегмент на части с помощью точек деления и взяв на каждой части какую-нибудь точку составим сумму

где

Тогда предел этой суммы при стремлении к нулю наибольшей из разностей есть по определению интеграл Из равенства

и пределе получим формулу

Определение интеграла функции комплексного переменного; его выражение через криволинейные интегралы и простейшие свойства

Пусть -непрерывная функция комплексного переменного на некоторой кусочно-гладкой дуге (рис. 29). Разобьем дугу на части; пусть комплексные числа, соответствующие точкам деления, будут На каждой части возьмем точку, соответствующую числу (в качестве , в частности, можно взять и образуем сумму

где .

Предел этой суммы (при стремлении к нулю длины наибольшей из частных дуг) называется интегралом от вдоль дуги и обозначается знаком

Легко выразить этот интеграл через обыкновенные криволинейные интегралы [отсюда будет вытекать и факт существования интеграла (3.33), если существование криволинейных интегралов считать известным].

Рис. 29.

Полагая будем иметь:

Таким образом,

Из непосредстзенного определения интеграла (3.33), а также из формулы (3.34) зытекает, что при перемене направления пути интегрирования интеграл ваменяется противоположным числом: если путь разбит на части, то интеграл по зсему пути равен сумме интегралов по его частям; интеграл по замкнутому пути не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода (в случае простого замкнутого контура можно употреблять обозначения и причем постоянные множители выносятся за внак интеграла; интеграл суммы равен сумме интегралов.

Преобразование интеграла функции комплексного переменного в простой интеграл от комплексной функции действительного переменного

Если

суть параметрические уравнения дуги то где

есть комплексное параметрическое уравнение дуги Тогда интеграл от функции комплексного переменного (3.33) может быть преобразован в простой интеграл от комплексной функции действительного переменного по формуле

[предполагаем непрерывно дифференцируемой функцией от ].

Формулу (3.35) можно вывести непосредственно, а также получить ее из аналогичного правила для обыкновенных криволинейных интегралов следующим образом:

Пример. Найти где С — круг радиуса с центром Параметрические уравнения этого круга суть

следовательно, комплексное параметрическое уравнение будет или Поэтому

Если целое число то

Таким образом, при целом

Оценка модуля интеграла

Если на кусочно-гладкой дуге имеющей длину имеем , где — непрерывная функция комплексного переменного на дуге то

Но есть расстояние между точками , следовательно, есть длина ломаной линии, вписанной в дугу поэтому

Следовательно,

откуда в пределе,

Таким образом, модуль интеграла от непрерывной функции комплексного переменного вдоль кусочно-гладкой дуги не превосходит произведения длины дуги на максимум модуля подынтегральной функции на этой дуге.

Предельный переход под знаком интеграла

Пусть

есть последовательность непрерывных функций комплексного переменного на кусочно-гладкой дуге (длины равномерно сходящаяся к на этой дуге (это значит, что для всякого найдется такой номер что при для всех на будем иметь Функция будет непрерывна на (это докавывается так же, как в случае действительного переменного). Тогда

В самом деле, взяв найдем такое что при будет для всех на Тогда по (3.37) получим:

что и доказывает (3.38).